Meromorf funktion

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 13. juni 2018; checks kræver 5 redigeringer .

En meromorf funktion (fra græsk μέρος - "del" og μορφή - "form") af én kompleks variabel i et område (eller på en Riemann-overflade ) er en holomorf funktion i et område , der har en pol i hvert enkelt punkt (altså , et isoleret punkt i sættet , uden grænsepunkter ved , og ). $P\subset \mathbb {C}$ $P$ $f$ $P\backslash \{a_{1},\;a_{2},\;\ldots \}$ $a_{i}$ $a_{i}$ $\{a_{1},\;a_{2},\;\ldots \}$ $P$ $\lim _{{z\to a_{i}}}|f(z)|=\infty$

Definition

En reel meromorf funktion er givet af en tredobbelt hvor er en kompakt Riemann-overflade , er en antiholomorf involution (kompleks konjugationsinvolution) og er et kort over Riemann-sfæren ( ). Desuden skal den opfylde betingelsen for alle. Enhver reel funktion er konstrueret ud fra en reel algebraisk funktion: ethvert polynomium med reelle koefficienter er en reel meromorf funktion. Sættet af faste punkter af involutionen består af simple parvise ikke-skærende lukkede konturer (ovaler). Hvis den er tilsluttet (frakoblet), så kaldes kurven ikke-separerende (adskillende). En reel meromorf funktion omdanner ovalen af en reel kurve til en kontur , hvor Graden af kortlægning er defineret som indekset for funktionen på ovalen - den absolutte værdi af graden $(P,\tau ,f),$ $P$ $\tau :P\to P$ $f:P\to {\hat {\mathbb {C} }}$ ${\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ $\tau \circ f={\overline {f(z)))$ $z\in P.$ $p(z)=a_{0}+a_{1}z+...+a_{n}z^{n},$ $a_{i}(z)\in \mathbb {R} ,$ $P^{\tau }\subset P$ $\tau$ ${\displaystyle P\setminus P^{\tau ))$ $f$ $-en$ $(P,\tau )$ ${\hat {\mathbb {R} }}\subset S,$ ${\hat {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \infty .$ $f(a)\subset {\mathbb {R} }$ $f|_{a}:a\to \mathbb {\hat {R)) .$ $(P,\tau,f)$ ${\displaystyle a\in P^{\tau ))$ $f|_{a}.$

Rummet af reelle meromorfe funktioner består af et tælleligt antal forbundne komponenter, hvor hver komponent er en ikke-lukket finitdimensional reel manifold og skelnes ved at specificere heltalstopologiske invarianter . For eksempel er graden af kortlægning og slægten af kurven invarianter Funktionens topologiske type er et sæt tal ( ), hvor er antallet af ark af dækningen , mængden er sættet af funktionsindekser på ovaler , og er et tal lig med 1 for at adskille kurver og 0 for ikke-adskillende. [en] $n$ $f$ $g$ $P.$ $(P,\tau,f)$ $g,n,\varepsilon \,|\,I$ $n$ $f,$ $I=(i_{1},...,i_{k})$ $(P,\tau,f)$ $\varepsilon$

Sættet af alle meromorfe funktioner på et domæne er et felt med hensyn til de sædvanlige punktvise operationer med efterfølgende udvidelse i flytbare singulariteter. $M(P)$ $P$

Egenskaber

Forholdet mellem enhver holomorf i funktioner, og , er en meromorf funktion i . $\varphi /\psi$ $P$ $\varphi$ $\psi$ $P$
Omvendt kan enhver meromorf funktion i et domæne (og på en ikke-kompakt Riemann-overflade ) repræsenteres som , hvor og er holomorfe og har ikke fælles nuller i . $P\subset \mathbb {C}$ $P$ $\varphi /\psi$ $\varphi$ $\psi$ $P$

På en ikke-kompakt Riemann-overflade falder feltet således sammen med feltet af kvotienter for ringen af holomorfe funktioner i . $M(P)$ $P$

Enhver meromorf funktion definerer en kontinuerlig kortlægning fra domænet til Riemann-sfæren , som er en holomorf kortlægning med hensyn til standardkompleksstrukturen . $f\in M(P)$ $f$ $P$ ${\mathbb C}\kop \{\infty \}$ ${\mathbb C}\cup \{\infty \}={\mathbb C}P^{1}$
Omvendt definerer enhver holomorf kortlægning en meromorf funktion på . I dette tilfælde falder sættet af poler sammen med det diskrete sæt . ${\displaystyle f:P\to \mathbb {C} \cup \{\infty \))$ $f$ $P$ $f$ $f^{{-1}}(\infty)$

Meromorfe funktioner af en kompleks variabel kan således identificeres med holomorfe afbildninger på Riemann-sfæren.

På enhver ikke-kompakt Riemann-overflade eksisterer der en meromorf funktion med givne poler og givet i hver af dem hoveddelen af Laurent-nedbrydningen ( Mittag-Leffler-sætning om nedbrydning af en meromorf funktion ). $\{a_{1},\;a_{2},\;\ldots \}$
På en kompakt Riemann-overflade (for eksempel på en torus ) er dette problem generelt uløseligt - yderligere betingelser for at matche hoveddelene er nødvendige.

Se også

Fradrag

Noter

↑ S. M. Natanzon, Real meromorphic functions on real algebraic curves, Dokl. AN SSSR, 1987, bind 297, nummer 1, 40–43.

Meromorf funktion

Definition

Egenskaber

Se også

Noter

Links