Lokal zeta funktion

Kongruens zeta-funktionen er en prototype til at konstruere den vigtige Hasse-Weil L-funktion , en række af formen

Z(V,T)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {N_{k}}{k}}T^{k}\right )

bygget på rækkefølgen af antallet af punkter af en affin eller projektiv varietet i endelige felter. $N_{k}$ $V$

Lokal zeta funktion . Til det er der en analog til Riemann-hypotesen . $\zeta (X,s)=Z(X,p^{-s})$

Definition

Lad være en affin eller projektiv variant over et begrænset felt . Kongruens zeta-funktionen af en manifold over er defineret som en formel potensrække $V$ $\mathbb {F} _{q}$ $V$ $\mathbb {F} _{q}$

Z(V/\mathbb {F} _{q},T)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {N_{k)){ k}}T^{k}\right)

hvor , og er antallet af point i . Tallene er endelige på grund af endeligheden af enhver affin eller projektiv variation af finite dimensioner over et begrænset felt. $\exp(u)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {u^{k}}{k!)}}$ $N_{k}$ $V$ $\mathbb {F} _{q^{k))$ $N_{k}$

En lokal zeta funktion er en funktion , her er en karakteristik af feltet , er en kompleks variabel. $\zeta (X,s)=Z(X,p^{-s})$ $s$ $\mathbb {F} _{q}$ $s\in \mathbb {C}$

Eksempler

Tag ligningen , geometrisk betyder det, at det kun er et punkt. I dette tilfælde er alle . Derefter $x=0$ $V$ $N_{k}=1$

Z(V,t)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {T^{k}}{k}}\right)=\exp (-\ln(1-T))={\frac {1}{1-T))

Lad være en projektiv linje over . Hvis , så har et punkt: alle punkter i feltet og et uendeligt punkt. følgelig $V$ $0x=0$ $F$ $F=\mathbb {F} _{q^{k))$ $V$ $N_{k}=q^{k}+1$

Z(V,T)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {(qT)^{k)){k))+{\frac {T^{k}}{k}}\right)=\exp \left(-\ln(1-qT)-\ln(1-T)\right)={\frac {1}{(1- T)(1-qT)}}

Egenskaber

$Z(X,T)$ repræsenteret som et uendeligt produkt

Z(X,T)=\prod \limits _{x}(1-T^{\deg(x)})^{-1},

hvor løber gennem alle lukkede punkter og er graden af . I tilfældet, som blev diskuteret ovenfor, så er lukkede punkter ækvivalensklasser af punkter , hvor to punkter er ækvivalente, hvis de er konjugeret over feltet . Graden er graden af udvidelse af feltet, der genereres af koordinaterne . Så vil den logaritmiske afledte af det uendelige produkt være lig med den genererende funktion $x$ $x$ $\deg x$ $x$ $X=V$ $x=[P]$ $P\in {\overline {V}}$ $F$ $x$ $F$ $P$ $Z(X,T)$

N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^{2}+\cdots \,

Hvis er en elliptisk kurve, så er zeta-funktionen i dette tilfælde lig med $E$

Z(E/\mathbb {F} _{q},T)={\frac {1-2a_{E}T+qT^{2}}{(1-T)(1-qT)} }

Hvis , så konvergerer i en åben cirkel med radius . ${\displaystyle (\forall k)N_{k}<CA^{k))$ $Z(T)$ $R=A^{-1}$

Hvis , og er de tilsvarende zeta-funktioner, så . ${\displaystyle N_{k}=N_{k}^{(1)}+N_{k}^{(2)))$ $Z(T),Z^{(1)}(T),Z^{(2)}(T)$ $Z(T)=Z^{(1)}(T)Z^{(2)}(T)$

Hvis , så . $N_{k}=\beta _{1}^{k}+...+\beta _{t}^{k}-\alpha _{1}^{k}-...-\ alfa _{s}^{k}$ $Z(T)={\frac {(1-\alpha _{1}T)...(1-\alpha _{s}T)}{(1-\beta _{1}T) ...(1-\beta _{t}T)}}$

Ansøgning

Hasse-Weyl L-funktionen er defineret i form af kongruens zeta-funktionen som følger

L(V,s)={\dfrac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{\prod \limits _{p}Z(V/\mathbb {F} _{p}, p^{-s})}}

Riemanns formodning for kurver over endelige felter

Hvis er en projektiv ikke -singular kurve over , så kan det vises, at $C$ $F$

Z(C,T)={\frac {P(t)}{(1-T)(1-qT)))\ ,

hvor er et polynomium af grad , hvor er slægten af kurven . Forestille $P(t)$ $2g$ $g$ $C$

P(t)=\prod \limits _{i=1}^{2g}(1-\omega _{i}t)\ ,

så siger Riemann-hypotesen for kurver over endelige felter det

{\displaystyle |\omega _{i}|=q^{1/2))

For den lokale zeta-funktion svarer denne sætning til, at den reelle del af rødderne er . $\zeta (X,s)$ $1/2$

For eksempel, for en elliptisk kurve , får vi tilfældet, når der er præcis 2 rødder, og så kan vi vise, at de absolutte værdier af roden er ens . Dette tilfælde svarer til Hasses sætning om at estimere antallet af punkter i en kurve i et begrænset felt. ${\sqrt {q))$

Generelle formler for zeta-funktionen

Det følger af Lefschetz sporformel for Frobenius morfismen , at

Z(X,T)=\prod \limits _{i=0}^{2\dim X}\det(1-T\operatørnavn {Frob} _{q}|H_{c}^{i }({\overline {X)),{\mathbb {Q} }_{\ell }))^{(-1)^{i+1)).

Her er et adskilleligt skema af endelig type over et begrænset felt og er en Frobenius geometrisk handling på kompakt understøttet -adic etale kohomologi . Dette viser, at den givne zeta-funktion er en rationel funktion . $x$ $\mathbb {F} _{q}$ $\operatorname {Frob} _{q}$ $\ell$ $\overline {X}$ $T$

Litteratur

Ireland K., Rosen M. En klassisk introduktion til moderne talteori. — M .: Mir, 1987. — 428 s.
Koblitz N. Introduktion til elliptiske kurver og modulære former. — M .: Mir, 1988. — 319 s.
Hartshorne R. Algebraisk geometri. — M .: Mir, 1981. — 597 s.