Stykkevis lineær funktion

En stykkevis lineær funktion er en funktion defineret på mængden af reelle tal , lineær på hvert af de intervaller , der udgør definitionsdomænet .

Formel definition og opgave

Lad — ændringspunkter for formler gives. $x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}$

Som alle stykkevis definerede funktioner er en stykkevis-lineær funktion normalt angivet på hvert af intervallerne med en separat formel. Skriv det i formularen: $(-\infty ;x_{1}),(x_{1};x_{2});\ldots (x_{n};+\infty)$ $f(x)={\begin{cases}k_{0}x+b_{0},\quad x<x_{1}\\k_{1}x+b_{1},\quad x_{1}< x<x_{2}\\\cdots \\k_{n}x+b_{n},\quad x_{n}<x\end{cases}}$

Hvis derudover matchningsbetingelserne er opfyldt

k_{i}x_{i}+b_{i}=k_{{i+1}}x_{i}+b_{{i+1}}=f(x_{i})

kl ,

i=1,2,\ldots,n-1

så vil den stykkevise lineære funktion være kontinuerlig . En kontinuerlig stykkevis lineær funktion kaldes også en lineær spline .

Alternativ Quest

Det kan bevises, at enhver kontinuerlig stykkevis lineær funktion kan defineres ved hjælp af en formlens formel

f(x)=ax+b+c_{1}|x-x_{1}|+c_{2}|x-x_{2}|+\ldots +c_{n}|x-x_{n}|

I dette tilfælde kan alle koefficienterne, undtagen b , udtrykkes i form af hældningskoefficienterne for de rette linjer med separate intervaller:

c_{i}={\frac {k_{i}-k_{{i-1}}}{2}}

, kl

i=1,2,\ldots ,n

a={\frac {k_{0}+k_{n}}{2}}

Egenskaber

Enhver kontinuerlig funktion kan tilnærmes vilkårligt tæt ved en stykkevis lineær funktion (i en kontinuerlig metrisk).

Et eksempel på en stykkevis lineær funktion

Grafen for funktionen i figuren er analytisk givet som:

f(x)={\begin{cases}-x-3&{\text{if}}\ x\leq -3\\x+3&{\text{if}}\ -3<x<0 \\-2x+3&{\text{if}}\ 0\leq x<3\\0.5x-4&{\text{if}}\ x\geq 3\end{cases}}

Kilder