Terningerod

Terningsroden af a , betegnet som eller som 1/3 , er tallet for hvis terning er lig . Med andre ord er dette en løsning på ligningen (reelle løsninger menes normalt). ${\sqrt[{3}]{a))$ $x,$ $en.$ $x^{3}=a$

Ægte rod

Terningroden er en ulige funktion . I modsætning til kvadratroden kan terningroden også tages fra negative tal (så der opnås et reelt resultat):

{\sqrt[ {3}]{-x}}=-{\sqrt[ {3}]{x}}

Kompleks rod

Terningroden af et komplekst tal , der ikke er nul, har nøjagtig tre værdier (et specialtilfælde af den n. rodegenskab): $c$

{\sqrt[{3}]{c}}={\sqrt[{3}]{\left|c\right|}}\left(\cos {\frac {\varphi +2k\pi } {3}}+i\sin {\frac {\varphi +2k\pi }{3}}\right),\quad k=0,1,2,\dots \quad \varphi =\arg {c}.

Her ved hjælp af den aritmetiske rod af et positivt tal ${\sqrt[ {3}]{\left|c\right|}}$ $\venstre|c\højre|.$

I særdeleshed

{\sqrt[ {3}]{1}}={\begin{cases}1\\\cos {{\frac {2\pi }{3}}}+i\sin {{\frac {2\pi }{3}}}=-{\frac {1}{2}}+i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}\\\cos {{\frac {2\pi }{ 3}}}-i\sin {{\frac {2\pi }{3}}}=-{\frac {1}{2}}-i{\frac {{\sqrt {3}}}{2 }}\end{cases}}

{\sqrt[ {3}]{-1}}={\begin{cases}-1\\\cos {{\frac {\pi}{3}}}+i\sin {{\frac {\pi }{3}}}={\frac {1}{2}}+i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}\\\cos {{\frac {\pi }{3} }}-i\sin {{\frac {\pi }{3}}}={\frac {1}{2}}-i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}\end {cases}}

De to komplekse værdier af terningroden opnås fra de rigtige ved formlen:

{\sqrt[ {3}]{x}}_{{2,3}}={\sqrt[ {3}]{x}}\left(-{\frac {1}{2}}\pm i {\frac {{\sqrt {3}}}{2}}\right).

Disse værdier skal være kendt for at løse kubiske ligninger ved hjælp af Cardano-formlen .

Vejledende form

Hovedværdien af roden af et komplekst tal kan defineres som følger: $x$

x^{{1/3}}=\exp({\tfrac 13}\ln {x})

Hvor ln er hovedværdien af den naturlige logaritme .

Hvis man forestiller sig som $x$

x=r\exp(i\theta )

så er kubikformlen:

{\sqrt[ {3}]{x}}={\sqrt[ {3}]{r}}\exp({\tfrac 13}i\theta ).

Dette betyder geometrisk, at vi i polære koordinater tager terningroden med modul og dividerer det oprindelige arguments polære vinkel med tre. Så hvis kompleks, så vil betegne ikke , men vil være ${\sqrt[{3}]{r))$ $x$ ${\sqrt[ {3}]{-8}}$ $-2$ $1+i{\sqrt {3}}.$

Interessante fakta

Terningroden kan ikke tages med kompas og lige . Det er grunden til, at de klassiske problemer, der kan reduceres til at udtrække en terningrod, er uløselige: fordobling af en terning , tredeling af en vinkel , samt opbygning af en regulær sekskant .

Ved en konstant tæthed af stof er dimensionerne af to lignende legemer relateret til hinanden som terningrødderne af deres masser. Så hvis en vandmelon vejer dobbelt så meget som en anden, så vil dens diameter (såvel som omkreds) kun være lidt mere end en fjerdedel (26%) mere end den første; og det vil se ud til, at forskellen i vægt ikke er så væsentlig. Derfor, i mangel af skalaer (sælges med øjet), er det normalt mere rentabelt at købe en større frugt.

Beregningsmetoder

Kolonne

Før du starter, skal du opdele tallet i trillinger (hele delen - fra højre til venstre, brøkdelen - fra venstre mod højre). Når du har nået decimalkommaet, skal du sætte et decimaltegn i slutningen af resultatet.

Algoritmen er:

Find et tal, hvis terning er mindre end den første gruppe af cifre, men når det øges med 1, bliver det større. Skriv det fundne nummer til højre for det givne nummer. Skriv tallet 3 under det.
Skriv terningen af det fundne tal under den første gruppe af cifre og træk fra . Skriv resultatet efter subtraktion under subtrahenden. Tag derefter den næste gruppe af tal ned.
Dernæst erstatter vi det fundne mellemsvar med bogstavet . Brug formlen til at beregne et tal , så dets resultat er mindre end det nederste tal, men når det øges med 1, bliver det større. Skriv ned, hvad du fandt til højre for svaret. Hvis den krævede nøjagtighed er nået, stoppes beregningen. $-en$ $300\gange a^{2}\gange x+30\gange a\gange x^{2}+x^{3}$ $x$ $x$
Skriv resultatet af beregningen ned med formlen under det nederste tal og træk fra. Gå til punkt 3. $300\gange a^{2}\gange x+30\gange a\gange x^{2}+x^{3}$

Se også

Litteratur

Korn G. , Korn T. 1,3-3. Repræsentation af sum, produkt og kvotient. Grader og rødder // Håndbog i matematik. - 4. udgave. - M . : Nauka, 1978. - S. 32-33.