Eisenstein kriterium

Eisenstein-kriteriet er et kriterium for irreducerbarheden af et polynomium , opkaldt efter den tyske matematiker Ferdinand Eisenstein . Trods det (traditionelle) navn er det netop et tegn, altså en tilstrækkelig betingelse - men slet ikke nødvendig, som man kunne antage, ud fra den matematiske betydning af ordet " kriterium " (se nedenfor).

Ordlyd

Lad være et polynomium over faktorringen R ( ), og for nogle primtal er følgende betingelser opfyldt: $a(x)=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}$ $n>0$ $s$

$p\nmidt a_{n}$ (dvs. ikke deleligt med ), $a_n$ $s$
$p\midt a_{i}$ for enhver i fra 0 til n-1,
$p^{2}\nmidt a_{0}$ .

Så er polynomiet irreducerbart over F , feltet af brøkdele af ringen R . $økse)$

Dette kriterium anvendes oftest, når R er ringen af heltal , og F er feltet af rationelle tal . $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$

Bevis

Antag det modsatte: , hvor og er polynomier over F af ikke- nul grader. Det følger af Gauss-lemmaet , at de kan betragtes som polynomier over R. Vi har: $a(x)=f(x)g(x)$ $f(x)=b_{0}+b_{1}x+...+b_{k}x^{k}$ $g(x)=c_{0}+c_{1}x+...+c_{m}x^{m}$

$a_{0}=b_{0}c_{0}$

Ved antagelse , og R er faktoriel, så enten eller , men ikke begge, da . Lad og . Alle koefficienter kan ikke være delelige med , for ellers ville det være sandt for . Lade være minimumsindekset, som ikke er deleligt med . Dette indebærer: $p\midt a_{0}$ $p\midt b_{0}$ $p\midt c_{0}$ $p^{2}\nmidt a_{0}$ $p\midt b_{0}$ $p\nmidt c_{0}$ $f(x)$ $s$ $økse)$ $jeg$ $b_{i}$ $s$

$a_{i}=b_{i}c_{0}+b_{{i-1}}c_{1}+...$

Siden og for alle dengang , men dette er umuligt, da af betingelse og . Sætningen er blevet bevist. $p\midt a_{i}$ $p\midt b_{j}$ $j<i$ $p\midt b_{i}c_{0}$ $p\nmidt c_{0}$ $p\nmidt b_{i}$

Eksempler

Polynomiet er irreducerbart over $x^{3}+2$ ${\mathbb Q}.$
Cirkeldelingspolynomiet er irreducerbart. Faktisk, hvis det er reducerbart, så er polynomiet også reducerbart , og da alle dets koefficienter, bortset fra den første, er binomiale, det vil sige, at de er delelige med , siden , og den sidste koefficient er heller ikke delelig med Eisensteins kriterium , det er irreducerbart, i modsætning til antagelsen. $f(x)=x^{{p-1}}+x^{{p-2}}+...+1$ $f(x+1)={\frac {(x+1)^{p}-1}{(x+1)-1}}=x^{{p-1}}+C_{p}^{ 1}x^{{p-2}}+...C_{p}^{{p-1}}$ $s$ $p|C_{p}^{k}={\frac {p(p-1)...(p-k+1)}{k!)}$ $C_{p}^{{p-1}}=p$ $p^{2},$
Polynomiet over er et eksempel, der viser, at Eisensteins kriterium ( "der eksisterer et p sådan at ...; så er polynomiet irreducerbart" ) kun er en tilstrækkelig, men ikke en nødvendig betingelse. Faktisk er den eneste prime divisor af det frie led , men 4 er deleligt med - så Eisenstein-kriteriet er ikke anvendeligt her. På den anden side, som et 3. grads polynomium uden rationelle rødder, er dette polynomium irreducerbart. $x^{3}+4$ $\mathbb {Q}$ $p=2$ $2^{2}$