Konform flad manifold

En konform flad manifold er en Riemann -manifold, hvor hvert punkt har et kvarter, der kan kortlægges konformt på en region i det euklidiske rum.

Mere formelt, lad M være en pseudo-riemannsk manifold med metrisk g . Så er M konformt fladt, hvis der for hvert punkt eksisterer et naboskab og en glat funktion defineret på U , således at metrikken på er flad (det vil sige, at krumningerne forsvinder på ). $x\in M$ $U\ni x$ $\phi$ $e^{2\phi}\cdot g$ $U$ $e^{2\phi}\cdot g$ $U$

Funktionen kaldes den konforme faktor, den behøver ikke at være defineret på hele M. Nogle forfattere bruger udtrykket lokalt konformt fladt til at beskrive konceptet introduceret ovenfor, og beholder udtrykket konformt fladt for det tilfælde, hvor funktionen er defineret på hele M. $\phi$ $\phi$

Eksempler

Enhver manifold med konstant tværsnitskrumning er konform flad.
Enhver 2-dimensionel pseudo-Riemann-manifold er konform flad.
En 3-dimensionel pseudo-Riemann-manifold er konform flad, hvis og kun hvis bomuldstensoren forsvinder.
En n -dimensional pseudo-Riemann-manifold for n ≥ 4 er konformt flad, hvis og kun hvis Weyl-tensoren forsvinder.

Egenskaber

Hver kompakt , enkelt forbundet , konformt flad Riemannmanifold svarer til en kugle .

Variationer og generaliseringer

En pseudo-Riemann-manifold siges at være konform flad, hvis hver af dens punkter har et kvarter, der konformt kan kortlægges på et domæne af pseudo-euklidisk rum .