Konisk kombination

En keglekombination ( konisk sum , vægtet sum ) er en operation på et endeligt sæt vektorer i det euklidiske rum , der forbinder dette sæt med en vektor af formen: $x_{1},x_{2},\dots,x_{n}$

{\displaystyle \alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n))

hvor alle tal opfylder betingelsen [1] [2] . $\alpha_i$ $\alpha _{i}\geqslant 0$

Navnet kommer fra det faktum, at den kegleformede sum af vektorer definerer en kegle (måske i et underrum med lavere dimension).

Kegleskallen er sættet af alle keglekombinationer for et givet sæt , betegnet med [1] eller [2] . Det er: $S$ $\operatørnavn {kegle} (S)$ $\operatørnavn {coni} (S)$

\operatorname {coni} (S)=\left\lbrace \sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}x_{i}\;{\Big |}\;x_{i }\i S,\,\alpha _{i}\i \mathbb {R} ,\,\alpha _{i}\geq 0,i,k=1,2,\dots \right\rbrace

Per definition tilhører oprindelsen alle koniske skaller.

Det koniske skrog af et sæt er et konveks sæt . Faktisk er det skæringspunktet mellem alle konvekse kegler , der indeholder , forenet med oprindelsen [1] . Hvis er et kompakt rum (især hvis det består af et begrænset antal punkter), er det ikke nødvendigt at tilføje oprindelsen til skæringspunktet mellem alle konvekse kegler. $S$ $S$ $S$

Hvis vi dividerer hver koefficient af en keglekombination med summen af alle dens koefficienter, så bliver det klart, at enhver ikke-nul keglekombination er en skaleret konveks kombination [1] . I den forbindelse kan keglekombinationer og kegleskrog betragtes som konvekse kombinationer og konvekse skrog i projektivt rum .

Selvom det konvekse skrog af et kompakt sæt også er et kompakt sæt, er dette ikke sandt for det koniske skrog, da det generelt er ubegrænset. Desuden er det koniske skrog af et kompakt sæt ikke engang nødvendigvis et lukket sæt - et modeksempel er kuglen, der passerer gennem oprindelsen, hvis koniske skrog er et åbent halvrum plus oprindelsen. Men hvis der er tale om et ikke-tomt kompakt sæt, der ikke indeholder oprindelsen, er sættets koniske skrog et lukket sæt [1] . $S$ $S$

Noter

↑ 1 2 3 4 5 Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal. Konvekse analyse- og minimeringsalgoritmer Del I: Grundlæggende . - Springer-Verlag , 1993. - Vol. 305. - S. 101-102. — (Grundlehren der matematischen Wissenschaften). — ISBN 3-540-56850-6 .
↑ 1 2 Melvyn W. Jeter. Matematisk programmering: En introduktion til optimering . - New York: Marcel Dekker, Inc., 1986. - Vol. 102. - S. 68. - (Monografier og lærebøger i ren og anvendt matematik). — ISBN 0-8247-7478-7 .