Endelig p-gruppe

En gruppe kaldes en endelig gruppe $s$ , hvis den har en rækkefølge lig med en potens af et primtal .

Grundlæggende egenskaber for endelige p-grupper

Lad være en endelig -gruppe, så $P$ $s$

P er nilpotent .
$|Z(P)|>1$ , hvor er midten af gruppen P . $Z(P)$
For enhver i findes der en normal undergruppe af orden . $1\leq k<n$ $P$ $p^{k}$
Hvis er normalt i , så . $H$ $P$ $|H\cap Z(P)|>1$
$P'\leq \Phi (P)$ .
$P/\Phi (P)\cong E_{p^{d))$ .

Nogle klasser af endelige p-grupper

Dette afsnit beskriver definitionerne og egenskaberne for nogle klasser af endelige grupper, som ofte overvejes i den videnskabelige litteratur. $s$

p-grupper af maksimal klasse

En endelig gruppe af orden kaldes en gruppe af maksimal klasse, hvis dens nilpotensklasse er lig med . $s$ $p^{n}$ $n-1$

Hvis er en endelig -gruppe af maksimal klasse, så og . $P$ $s$ $P'=\Phi (P)$ $|Z(P)|=p$

De eneste 2-grupper af rækkefølge af maksimal klasse er: den dihedrale gruppe , den generaliserede quaternion -gruppe og den semi-dihedrale gruppe . $2^{n}$ $D_{2^{n))$ $Q_{2^{n))$ $SD_{2^{n))$

I modsætning til 2-grupper er tilfældet med p-grupper af maksimal klasse for p>2 meget mere kompliceret.

p-centrale p-grupper

En endelig -gruppe kaldes -central hvis . Begrebet er i en vis forstand dobbelt til begrebet en magtfuld gruppe. $s$ $s$ $\Omega _{1}(P)\leq Z(P)$ $s$

Kraftige p-grupper

En endelig gruppe kaldes kraftig hvis for og for . Begrebet er i en vis forstand dobbelt til begrebet -central -gruppe. $s$ ${\displaystyle [P,P]\leq P^{p))$ $p\neq 2$ ${\displaystyle [P,P]\leq P^{4))$ $p=2$ $s$ $s$

Almindelige p-grupper

En endelig gruppe kaldes regulær hvis , hvor , gælder for nogen . For eksempel vil alle abelske -grupper være regelmæssige. En gruppe, der ikke er regulær, kaldes irregulær . $s$ $P$ $x,y\in P$ ${\displaystyle (xy)^{p}=x^{p}y^{p}c^{p))$ $c\in P'$ $s$

Enhver undergruppe og faktorgruppe i en regulær -gruppe er regulær. $s$
En endelig -gruppe er regulær, hvis nogen af dens undergrupper genereret af to elementer er regulær. $s$
En endelig rækkefølge er højst regulær. $s$ ${\displaystyle p^{p))$
En endelig gruppe, hvis nilpotensklasse er mindre end regulær. Også alle grupper af nilpotens klasse 2 er regulære for . $s$ $s$ $p>2$
Enhver endelig ikke-abelsk 2-gruppe er uregelmæssig.

Finite p-grupper af små ordrer

Antal distinkte -grupper af orden $s$ $p^{n}$

Antallet af ikke- isomorfe ordensgrupper er 1: gruppen . $s$ $C_{p}$
Antallet af ikke-isomorfe ordensgrupper er 2: grupper og . $p^{2}$ $C_{p^{2))$ $C_{p}\ gange C_{p}$
Antallet af ikke-isomorfe grupper af orden er 5, hvoraf tre er Abelske grupper: , , og to er ikke-Abelske: for - og ; for p = 2 - , . $p^{3}$ $C_{p^{3))$ $C_{p^{2}}\ gange C_{p}$ ${\displaystyle C_{p}\ gange C_{p}\ gange C_{p))$ $p>2$ $E_{p^{3}}^{+}$ $E_{p^{3}}^{-}$ $D_{4}$ $Q_8$
Antallet af ikke-isomorfe ordensgrupper er 15 for , antallet af ordensgrupper er 14. $p^{4}$ $p>2$ $2^4$
Antallet af ikke-isomorfe ordensgrupper er lig med for . Antallet af ordregrupper er 51, antallet af ordregrupper er 67. $p^{5}$ $2p+61+2GCD(p-1,3)+GCD(p-1,4)$ $p\geq 5$ $2^{5}$ $3^{5}$
Antallet af ikke-isomorfe ordensgrupper er lig med for . Antallet af ordregrupper er 267, antallet af ordregrupper er 504. $p^{6}$ $3p^{2}+39p+344+24GCD(p-1.3)+11GCD(p-1.4)+2GCD(p-1.5)$ $p\geq 5$ $2^6$ $3^{6}$
Antallet af ikke-isomorfe ordensgrupper er lig med for . Antallet af ordregrupper er 2328, antallet af ordregrupper er 9310, antallet af ordregrupper er 34297. ${\displaystyle p^{7))$ $3p^{5}+12p^{4}+44p^{3}+170p^{2}+707p+2455+(4p^{2}+44p+291)GCD(p-1,3) +(p^{2}+19p+135)GCD(p-1,4)+(3p+31)GCD(p-1,5)+4GCD(p-1,7)+5GCD(p-1, 8)+GCD(p-1,9)$ $p>5$ $2^7$ $3^{7}$ ${\displaystyle 5^{7))$

p-grupper af orden , asymptotik $p^{n}$

For , antallet af ikke-isomorfe ordensgrupper er asymptotisk lig med . $n\højrepil\infty$ $p^{n}$ $p^{(2/27+O(n^{-1/3}))n^{3))$

Berømte problemer i teorien om endelige p-grupper

Automorfigruppen af en endelig p-gruppe

For grupper , der er automorfier af en endelig gruppe, er der simple øvre grænser, men nedre grænser er meget mere komplicerede. I mere end et halvt århundrede har følgende hypotese stået åben: $s$ $s$

Lad være en ikke-cyklisk -gruppe af orden , så . $P$ $s$ $|P|\geq p^{3}$ $|P|\leq |Syl_{p}(Aut(P))|$

Denne formodning er bekræftet for en stor klasse af -grupper: abelske grupper, højst for alle grupper af ordener , grupper af maksimal klasse. Der er dog endnu ikke fundet en generel tilgang til dette problem. $s$ ${\displaystyle p^{7))$

Higmans hypotese

J. Thompson beviste en velkendt sætning om, at en endelig gruppe med en regulær automorfi af prime orden er nilpotent. $q$

Lad en gruppe have en regulær automorfi af prime orden . Så er dens nulpotensklasse . $P$ $q$ $cl(P)={\frac {q^{2}-1}{4))$

Indtil videre er kun meget svagere skøn blevet bevist: (Kostrikin, Kreknin). ${\displaystyle cl(P)<q^{q))$

Svækket Burnside formodning

Burnsides formodning var, at hvis der er en gruppe med generatorer og en periode (det vil sige, at alle dens elementer opfylder relationen ), så er den endelig. Hvis det er tilfældet, angiver vi maksimum af disse grupper med . Så vil alle andre grupper med samme egenskab være dens faktorgrupper. Det er faktisk nemt at vise, at gruppen er en elementær abelsk 2-gruppe. Van der Waerden beviste, at rækkefølgen af en gruppe er . Men som Novikov og Adyan viste, er gruppen uendelig for og for enhver ulige . $m$ $n$ $x$ $x^{n}=1$ $B(m,n)$ $B(m,2)$ $B(m,3)$ $3^{\frac {m(m^{2}+5)}{6))$ $m\geq 2$ $n\geq 4381$ $B(m,n)$

Den svækkede Burnside-formodning siger, at rækkefølgen af endeligt -genererede periodegrupper er afgrænset. Denne formodning blev bevist af Efim Zelmanov . For endelige grupper betyder det, at der kun er endeligt mange grupper af en given eksponent og med et givet antal generatorer. $m$ $n$ $s$ $s$

Uregelmæssige p-grupper

Klassificering af uregelmæssige p-grupper af orden . $p^{p+1}$

Litteratur

Belonogov V. A. Opgavebog om gruppeteori - M .: Nauka , 2000.
Vinberg E. B. Algebra kursus. - 3. udg. - M . : Factorial Press, 2002. - 544 s. - 3000 eksemplarer. — ISBN 5-88688-060-7 .
Hall M. Teori om grupper. Forlag for udenlandsk litteratur - M. , 1962.
Khukhro E.I. Om p-grupper af automorfismer af abelske p-grupper - Algebra i Logika, 39, N 3 (2000), 359-371.
Berkovich Y. Groups of Prime Power Order, Del I, II, (under forberedelse).
Berkovich Y., Janko Z. Groups of Prime Power Order, del III, (under forberedelse).
Gorenstein D. Finite groups - NY: Harper and Row, 1968.
Huppert B. Endliche Gruppen I. - Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1967.
Lazard M. Groupes analytiques p-adiques - Publ. Matematik. Inst. Hautes Etud. Sci., 26 (1965), 389-603.
Lubotzky A., Mann A. Powerful p-groups, I: finite groups, J. Algebra, 105, N2 (1987), 484-505; II: p-adiske analytiske grupper, ibid., 506-515.
Weigel T. Kombinatoriske egenskaber af p-centrale grupper - Freiburg Univ., 1996, fortryk.
Weigel T. p-Central groups and Poincare duality - Freiburg Univ., 1996, preprint.