Kinematik af en stiv krop

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 7. november 2021; checks kræver 3 redigeringer .

Kinematik af et stivt legeme (fra andet græsk κίνημα - bevægelse) - et afsnit af kinematik , der studerer bevægelsen af et absolut stivt legeme (et system af materielle punkter med konstante afstande), uden at gå ind i årsagerne, der forårsager det. På grund af bevægelsens relativitet er det obligatorisk at angive den referenceramme , som bevægelsen er beskrevet i forhold til.

Beskrivelse af bevægelsen

Funktionen ved en stiv krop giver os mulighed for at introducere et ortonormalt koordinatsystem forbundet med det , centreret i et punkt (et vilkårligt punkt forbundet med denne krop). Så i det absolutte ortonormale system kan koordinaten for et vilkårligt punkt i en stiv krop udtrykkes: $({\vec {e}}_{\xi },{\vec {e}}_{\eta },{\vec {e}}_{\zeta })$ $S$ $Oxyz,\,({\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z})$

${\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{S}(t)+\xi {\vec {e}}_{\xi}(t)+\eta { \vec {e}}_{\eta }(t)+\zeta {\vec {e}}_{\zeta }(t)$ , og siden kroppen er absolut stiv: , men . ${\dot {\xi }}={\dot {\eta }}={\dot {\zeta }}=0$ ${\dot {\vec {e))}_{i}\neq 0\,(i=\xi ,\eta ,\zeta )$

Lad . Især kan transformationen specificeres ved hjælp af Euler-vinkler . ${\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{\xi }\\{\vec {e}}_{\eta }\\{\vec {e}}_{\zeta}\ end{pmatrix}}={\hat {A}}{\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{x}\\{\vec {e}}_{y}\\{\vec {e }}_{z}\end{pmatrix}}$

Da baserne er ortonormale, er de ortogonale til , som følge heraf . ${\hat {A}}$ ${\hat {A}}{\hat {A}}^{T}=E$

Med hastigheden af et vilkårligt punkt i kroppen så:

{\vec {v}}(t)={\vec {v}}_{S}(t)+(\xi ,\eta ,\zeta ){\begin{pmatrix}{\dot {\ vec {e}}}_{\xi }\\{\dot {\vec {e}}}_{\eta }\\{\dot {\vec {e}}}_{\zeta}\end{ pmatrix}}={\vec {v}}_{S}(t)+(\xi ,\eta ,\zeta ){\dot {\hat {A}}}{\begin{pmatrix}{\vec { e}}_{x}\\{\vec {e}}_{y}\\{\vec {e}}_{z}\end{pmatrix}}={\vec {v}}_{S }(t)+(\xi ,\eta ,\zeta ){\dot {\hat {A}}}{\hat {A}}^{T}{\begin{pmatrix}{\vec {e}} _{\xi }\\{\vec {e}}_{\eta }\\{\vec {e}}_{\zeta}\end{pmatrix}}

Differentieringsresultater , hvilket betyder antisymmetri , som kan skrives ${\hat {A}}{\hat {A}}^{T}=E$ ${\dot {\hat {A}}}{\hat {A}}^{T}=-{\hat {A}}{\dot {\hat {A}}}^{T}$ ${\dot {\hat {A}}}{\hat {A}}^{T}={\hat {\Omega }}$

{\hat {\Omega }}={\begin{pmatrix}0&\omega _{\zeta }&-\omega _{\eta }\\-\omega _{\zeta}&0&\omega _{ \xi }\\\omega _{\eta }&-\omega _{\xi}&0\end{pmatrix}}

Notationen er motiveret af introduktionen (af vinkelhastighedsvektoren ). Derefter: ${\vec {\omega }}=\omega _{\xi }{\vec {e}}_{\xi}+\omega _{\eta }{\vec {e}}_{\eta }+\omega _{\zeta }{\vec {e}}_{\zeta }$

{\begin{cases}{\dot {\vec {e))}_{\xi }=\omega _{\zeta }{\vec {e))_{\eta}-\omega _{ \eta }{\vec {e}}_{\zeta }=[{\vec {\omega }}\time {\vec {e}}_{\xi}],\\{\dot {\vec { e))_{\eta }=-\omega _{\zeta }{\vec {e}}_{\xi }+\omega _{\xi }{\vec {e}}_{\zeta } = [{\vec {\omega }}\ gange {\vec {e}}_{\eta }],\\{\dot {\vec {e}}}_{\zeta }=\omega _{\ eta }{\vec {e}}_{\xi }-\omega _{\xi }{\vec {e}}_{\eta }=[{\vec {\omega }}\time {\vec { e }}_{\zeta }];\end{cases}}

De resulterende udtryk kaldes ellers Poisson-formler.

Eulers formel

Eulers formel fastsætter forholdet mellem hastighederne af forskellige punkter i et stivt legeme: $A,B$

{\vec {v}}_{B}={\vec {v}}_{A}+[{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}]

Bevis

${\begin{cases}{\vec {v}}_{A}={\vec {v}}_{S}+(\xi _{A},\eta _{A},\zeta _{A})\Omega {\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{\xi }\\{\vec {e}}_{\eta }\\{\vec {e}}_{ \zeta }\end{pmatrix)),\\{\vec {v))_{B}={\vec {v))_{S}+(\xi _{B},\eta _{B} ,\zeta _{B})\Omega {\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{\xi }\\{\vec {e}}_{\eta }\\{\vec {e} }_{\zeta}\end{pmatrix));\\\end{cases))\;\Rightarrow \;{\vec {v}}_{B}-{\vec {v}}_{A} =(\xi _{B}-\xi _{A},\eta _{B}-\eta _{A},\zeta _{B}-\zeta _{A})\Omega {\begin{ pmatrix}{\vec {e}}_{\xi}\\{\vec {e}}_{\eta}\\{\vec {e}}_{\zeta}\end{pmatrix}}\; \Leftrightarrow \;{\vec {v}}_{B}={\vec {v}}_{A}+[{\vec {\omega }}\ gange {\overrightarrow {AB}}]$

Hvis , så . ${\vec {v}}_{A}={\vec {v}}_{B}$ ${\vec {\omega }}\parallel {\overrightarrow {AB}}$
${\vec {\omega ))$ er invariant med hensyn til valget af et bevægeligt koordinatsystem.
Vinkelhastighedsvektoren er relateret til hastighedsfeltet for kroppens punkter . ${\vec {\omega }}={\frac {1}{2}}\nabla \times {\vec {v}}$

Rivals formel

Rivals-formlen relaterer accelerationerne af forskellige punkter i en stiv krop. $A,B$

For (vektor for vinkelacceleration ), givet at , differentiering af Euler-formlen fører til: ${\vec {\varepsilon }}={\dot {\vec {\omega }}}$ ${\dot {\overrightarrow {AB}}}=[{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}]$

{\vec {a}}_{B}={\vec {a}}_{A}+[{\vec {\varepsilon }}\times {\overrightarrow {AB}}]+{\big [}{\vec {\omega }}\times [{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}]{\big ]}

Det sidste led i Rivals formlen bestemmer den skarpe acceleration .

Sammensat bevægelse

For tilfælde af vanskelig beskrivelse af bevægelsen af et stivt legeme i forhold til en fast CO , introduceres formler for kompleks bevægelse (dvs. beskriver bevægelsen i forhold til en bevægelig CO).

Til absolut referencesystem og flytning . $Oxyz,({\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z})$ $P\xi \eta \zeta \,({\vec {e}}_{\xi},{\vec {e}}_{\eta},{\vec {e}}_{\zeta })$

{\vec {r}}_{S/O}={\vec {r}}_{S/P}+{\vec {r}}_{P/O}

Radiusvektoren til et punkt i absolut FR er lig med summen af den relative radiusvektor og den bærbare $S$

Formel for tilsætning af hastighed

Differentiering med hensyn til tid fører formlen for radiusvektoren til formlen for at addere hastigheder

{\vec {v}}_{S/O}={\vec {v}}_{P/O}+{\vec {v}}_{S/P}+[{\vec { \omega }}\times {\overrightarrow {PS}}]

, hvor er rotationsvinkelhastigheden for den mobile CO.

{\vec {\omega ))

${\vec {v}}_{S/O}$ er punktets absolutte hastighed , $S$
${\vec {v}}_{S/P}={\dot {\xi }}{\vec {e}}_{\xi}+{\dot {\eta }}{\vec { e}}_{\eta }+{\dot {\zeta}}{\vec {e}}_{\zeta }$ - relativ hastighed,
Udtrykket kaldes den bærbare hastighed, som er forbundet med en ændring i positionen af den mobile CO. ${\vec {v}}_{P/O}+[{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {PS}}]$

Accelerationsadditionsformel

Gentagen differentiering giver

{\vec {a}}_{S/O}={\vec {a}}_{P/O}+{\vec {a}}_{S/P}+[{\vec { \varepsilon }}\times {\overrightarrow {PS}}]+{\big [}{\vec {\omega }}\times [{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {PS}}]{ \big ]}+2[{\vec {\omega }}\ gange {\vec {v}}_{S/P}]

, hvor er vinkelaccelerationen af den bevægende CO.

{\vec \varepsilon }

${\vec {a}}_{S/O}$ er den absolutte acceleration,
${\vec {a}}_{P/O}={\ddot {\xi }}{\vec {e}}_{\xi}+{\ddot {\eta }}{\vec { e}}_{\eta }+{\ddot {\zeta }}{\vec {e}}_{\zeta }$ - relativ acceleration,
${\vec {a}}_{S/P}+[{\vec {\varepsilon }}\times {\overrightarrow {PS}}]+{\big [}{\vec {\omega }} \times [{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {PS}}]{\big ]}$ - bærbar acceleration,
$2[{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{S/P}]$ er Coriolis-accelerationen.

Tilføjelse af vinkelhastigheder

At skrive Euler-formlen i en bevægelig CO, der roterer med vinkelhastighed (kroppen selv roterer her med ) fører til: ${\vec {\omega }}_{P/O}$ ${\vec {\omega }}_{S/P}$

{\vec {v}}_{B/O}={\vec {v}}_{A/O}+[{\vec {\omega}}_{S/P}\ gange {\ højrepil {AB}}]+[{\vec {\omega }}_{P/O}\ gange {\overhøjrepil {AB}}]

, hvilket er sandt for et vilkårligt valg af punkter , hvorfra

A,B

{\vec {\omega }}_{S/O}={\vec {\omega }}_{P/O}+{\vec {\omega }}_{S/P}

Ellers er den absolutte vinkelhastighed lig med summen af det relative og translationelle.

Kvalitativ analyse af mulige bevægelser

Øjeblikkelig spiralformet bevægelse , karakteriseret ved det, der findes (øjeblikkeligt spiralformet akse), sådan at for ethvert punkt . På hvert tidspunkt kan enhver bevægelse repræsenteres som øjeblikkelig-spiralformet. $l\parallel {\vec {\omega ))$ $S\in l:{\vec {v}}_{S}\parallel l$
Øjeblikkelig translationel bevægelse er kendetegnet ved, at i dette tilfælde er hastighederne for alle kroppens punkter de samme (på et givet tidspunkt). ${\vec {\omega }}=0$
Øjeblikkelig rotationsbevægelse , et særligt tilfælde af øjeblikkelig skrue, dvs. der eksisterer sådan, at alle punkter på den er faste. Den rette linje i dette tilfælde er den øjeblikkelige rotationsakse. $l$ $l$
Planparallel bevægelse udføres, hvis hvert punkt på kroppen bevæger sig parallelt med et fast plan (lad ), så . Analogt med den øjeblikkelige spiralakse, for plan-parallel bevægelse, kan du vælge det øjeblikkelige centrum af hastigheder - et øjeblikkeligt fast punkt . Stillingen ændres både i det faste og i det bevægelige (forbundet med kroppen) koordinatsystem. For stedet for punkter for det øjeblikkelige hastighedscenter i en fast ramme bruges udtrykket fast tyngdepunkt, mens det i en bevægende ramme henholdsvis er et bevægeligt tyngdepunkt. $Oxy$ ${\vec {\omega }}\perp Oxy$ $C$ $C$
Rotation omkring et fast punkt. Ifølge Eulers formel, hvis fast, så fikseret og (øjeblikkelig rotationsakse). Den geometriske placering af rotationsakserne kaldes faste og bevægelige aksoider (afhængigt af den betragtede CO) $O$ $l=O\omega$

Eulers kinematiske formler

Hvis overgangen til en mobil CO foretages ved hjælp af Euler-vinkler , er følgende formler for komponenterne i vinkelhastigheden gyldige:

\omega _{\xi }={\dot {\varphi }}\sin \theta \sin \psi +{\dot {\theta }}\cos \psi

\omega _{\eta }={\dot {\varphi }}\sin \theta \cos \psi -{\dot {\theta }}\sin \psi

\omega _{\zeta }={\dot {\psi }}+{\dot {\varphi }}\cos \theta

$\psi$ er præcessionsvinklen, er nutationsvinklen, er den korrekte drejningsvinkel. $\theta$ $\varphi$

Se også

Litteratur

Teoretisk mekanik / Bolotin S.V., Karapetyan A.V., Kugushev E.I., Treschev D.V. - M., 2010.
Almen kursus i fysik T.I. Mekanik/Sivukhin D.V. - M., 1979. - $ 7, s. 45-47