Kvantil

En kvantil i matematisk statistik er en værdi, som en given stokastisk variabel ikke overskrider med en fast sandsynlighed . Hvis sandsynligheden er angivet i procent, så kaldes kvantilen en percentil eller percentil (se nedenfor ).

For eksempel betyder sætningen "90. percentil af kropsvægt hos nyfødte drenge er 4 kg" [1] at 90 % af drenge er født med en vægt på mindre end eller lig med 4 kg, og 10 % af drenge er født med en vægt på mere end 4 kg .

Definition

Overvej et sandsynlighedsrum og er et sandsynlighedsmål, der specificerer fordelingen af en tilfældig variabel . Lad det blive ordnet . Så er -kvantilen (eller niveaukvantilen ) af fordelingen tallet , sådan at $(\Omega ,\;{\mathcal {F}),\;\mathbb {P} )$ $\mathbb {P} ^{X}$ $x$ $\alpha \in(0,\;1)$ $\alfa$ $\alfa$ $\mathbb {P} ^{X}$ $x_{\alpha }\in \mathbb{R}$

\mathbb {P} (X\leqslant x_{\alpha })\geqslant \alpha

\mathbb {P} (X\geqslant x_{\alpha })\geqslant 1-\alpha .

I nogle kilder (for eksempel i engelsksproget litteratur) er -m -kvantilen niveaukvantilen , det vil sige -kvantilen i den foregående notation. $k$ $q$ $k/q$ $(k/q)$

Noter

Hvis fordelingen er kontinuert, er -kvantilen entydigt givet af ligningen $\alfa$

F_{X}(x_{\alpha })=\alpha ,

hvor er fordelingsfunktionen . $F_{X}$ $\mathbb {P} ^{X}$

For kontinuerlige distributioner gælder naturligvis følgende lighed, som er meget brugt til at konstruere konfidensintervaller :

{\mathbb {P}}\left(x_{{{\frac {1-\alpha }{2}}}}\leqslant X\leqslant x_{{{\frac {1+\alpha }{2}}} }\right)=\alpha .

For en empirisk fordeling kan -kvantilen specificeres på følgende måde: $\alfa$

vi sammensætter en variationsrække af værdier (prøven har et volumen ), og overvejer også det (dette er nødvendigt, når man beregner 100% kvantilen ved hjælp af formlerne nedenfor); $V_{0}\leqslant V_{1}\leqslant \dots \leqslant V_{{N-1}}$ $N$ $V_{N}=V_{{N-1}}$
find værdien ; $K=\lgulv \alpha \cdot (N-1)\rgulv$
sammenligne og : $K$ $\alpha \cdot N$

a) hvis , så sætter vi ;

K+1<\alpha N

x_{\alpha }=V_{{K+1}}

b) hvis , så sætter vi ;

K+1=\alfa N

x_{{\alpha }}=(V_{K}+V_{{K+1}})/2

c) hvis , så antager vi .

K+1>\alpha N

x_{{\alpha }}=V_{K}

Givet på denne måde opfylder -kvantilen ovenstående definition. $\alfa$

I nogle tilfælde (med en stor stikprøvestørrelse og en empirisk fordeling tæt på kontinuerlig) kan en tilnærmet sammenligning bruges i stedet for lighed (dette vil f.eks. gøre det muligt at repræsentere 1/3-niveaukvantilen som 0,33 ... 333 i computerdatabehandling). $K+1=\alfa N$ $|K+1-\alfa N|<1/N$

Median og kvartiler

0,25-kvantilen kaldes den første (eller lavere) kvartil (fra latin quarta - en fjerdedel);
0,5-kvantilen kaldes medianen (fra latin mediāna - midt) eller anden kvartil ;
Kvantilen på 0,75 kaldes den tredje (eller øverste) kvartil .

Interquartile range ( eng. Interquartile range ) er forskellen mellem den tredje og første kvartil , dvs. Interkvartilområdet er en karakteristik af spredningen af fordelingen af en værdi og er en robust analog af spredningen . Sammen kan median- og interkvartilområdet bruges i stedet for middelværdien og variansen ved fordelinger med store outliers, eller når sidstnævnte ikke kan beregnes. $x_{{0{,}75}}-x_{{0{,}25}}$

Decil

En decil karakteriserer fordelingen af befolkningsværdier, hvor ni decilværdier deler den i ti lige store dele. Enhver af disse ti dele er 1/10 af det samlede antal. Således adskiller den første decil de 10% af de mindste værdier under decilen fra de 90% af de største værdier over decilen.

Ligesom i tilfældet med mode og median, i intervalvariationsrækken af distribution, hører hver decil (og kvartil) til et bestemt interval og har en veldefineret værdi [2] .

Percentil

$s$ Den th percentil er niveaukvantilen . Følgelig er medianen 50. percentilen, og den første og tredje kvartil er henholdsvis 25. og 75. percentilen. $\alpha =p/100$

Generelt er begreberne kvantil og percentil udskiftelige. , samt skalaerne til beregning af sandsynligheder - absolut og procent.

Percentiler kaldes også for percentiler eller centiler .

Kvantiler af standard normalfordelingen

Sandsynlighed (kvantilniveau), %	99,99	99,90	99,00	97,72	97,50	95,00	90,00	84,13	50,00
Kvantil (afrundet til tusindedele)	3.719	3,090	2.326	1.999	1.960	1.645	1,282	1.000	0.000

Se også

Noter

↑ Vejledning til den lokale børnelæge . - GEOTAR-Media, 2008. - S. 44. - 354 s.
↑ Shmoylova R. A., Minashkin V. G., Sadovnikova N. A. Workshop om teorien om statistik. - 3. udg. - M. : Finans og statistik, 2011. - S. 130-131. — 416 s. — ISBN 9785279032969 . .

Links

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Stor russer Treccani
I bibliografiske kataloger	GND : 4224812-7