Kvasi-variation

En kvasi -varietet (fra latin quas (i) "ligesom", "noget lignende") i universel algebra er en klasse af algebraiske systemer med en fast signatur , aksiomatiseret af et sæt kvasi-identiteter ( Horn disjunkter ).

I modsætning til varieteter , som er klasser af algebraiske systemer aksiomatiseret af identiteter, spiller modelteoretiske metoder en særlig rolle i teorien om kvasvarieteter, mens varieteter hovedsageligt betragtes som algebraer (algebraiske systemer uden relationer i signaturen) og studeres ved generelle algebraiske metoder. [1] .

Definitioner

For et algebraisk system med et sæt af operationer og relationer betragtes formler for kvasi -atomare: ${\mathfrak {A}}=\langle A,F,R\rangle$ $F=\langle f_{1}:A^{n_{1}}\to A,\dots f_{i}:A^{n_{i}}\to A,\dots \rangle$ $R=\langle r_{1}\subseteq A^{m_{1}},\dots r_{i}\subseteq A^{m_{i}},\dots \rangle$

$r_{i}(f_{j1}(x_{1},\dots ,x_{n_{j))),\dots ,f_{km_{i))(x_{k1},\dots ,x_ {n_{k}})))$ (eller i relationsnotation: ), $(f_{j1}(x_{1},\dots x_{n_{j))),\dots ,f_{km_{i))(x_{k1},\dots ,x_{n_{k} }))\i r_{i}$
$f_{j}(x_{1},\dots ,x_{n_{j)))=f_{k}(x_{1},\dots ,x_{n_{k))))$ ,

hvor , , og er symboler for variable. (Nogle gange er lighed inkluderet i signaturen af et algebraisk system som en relation, i hvilket tilfælde formler af den første slags er tilstrækkelige.) $r_i \i R$ $f_i \i F$ $x_{i}$

Kvasi -identiteter er formler på formen:

{\displaystyle \forall x_{1},\dots,x_{k}\,{\big (}{\mathcal {F}}_{1}\land \dots \land {\mathcal {F}}_{ m}\Højrepil {\mathcal {F}}_{m+1}{\big )))

hvor er kvasi-atomare formler med variable . En kvasivarietet er en klasse af algebraiske systemer defineret af et sæt kvasiidentiteter. $\mathcal F_i$ $x_1,\prikker x_k$

Karakteristiske egenskaber

Enhver variation af algebraiske systemer er en kvasi-varietet på grund af det faktum, at enhver identitet (fra en kvasi-atomisk formel) kan erstattes, for eksempel af en kvasi-identitet svarende til den [2] . $\forall x_{1},\dots ,x_{n}\,{\mathcal {F))(x_{1},\dots x_{n})$ ${\displaystyle \forall x_{1},\dots ,x_{n}\,{\big (}x_{1}=x_{1}\Rightarrow {\mathcal {F))(x_{1},\dots ,x_{n}){\big )))$

Hvis en kvasivarietet er endeligt aksiomatiserbar, så er den endeligt definerbar [3] .

Det algebraiske identitetssystem for en given signatur , det vil sige et system understøttet af ét element , sådan at og , er en kvasivarietet (og desuden en varietet). Den mindste kvasivarietet af en given signatur er en sort, er givet af identiteter og består af et enkelt identitetssystem. Den største kvasivariant af bagsignatur er også en variant, klassen af alle systemer af en given signatur, defineret af identiteten . [fire] $\langle F, R \rangle$ $e$ $\forall(f\in F)f(e, \dots e_i, \dots)=e$ $\forall(r\in R)(e, \dots e_i, \dots) \in r$ $\forall(x,y\in A)(x=y)$ $\forall(x_1, \dots x_k \in A)(x_1, \dots x_k)\in r$ $\forall(x)(x=x)$

Enhver kvasi-varietet omfatter et vilkårligt filtreret produkt af dets konstituerende systemer [5] .

For at en klasse af systemer skal være en kvasi-manifold, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at den samtidig er lokalt lukket, multiplikativt lukket (indeholder ethvert kartesisk produkt af dets systemer) og indeholder et identitetssystem. Lokal og multiplikativ lukning for denne funktion kan tilsvarende erstattes af lukning under filtrerede produkter og arvelighed[ præciser ] [6] .

Konstitutive relationer

Gratis kompositioner

Gitter af kvasivarieteter

Historie

Det første resultat af anvendelsen af kvasi-identiteter i generel algebra anses for at være resultatet af Anatoly Maltsev i 1939 [7] , hvor en uendelig række af kvasi-identiteter blev konstrueret, som karakteriserer klassen af semigrupper , der kan indlejres i grupper . I et papir fra 1943 af Chen McKinsey 8] forbandt han nogle algoritmiske problemer i algebra med kvasi-identiteter, og et af resultaterne af Robert Dilworths løsning i 1945 [9] af problemet med eksistensen af ikke-distributive gitter med et enkelt komplement var beviset på, at kvasivarieteter har frie systemer.

Novikovs (1955) sætning om uafgøreligheden af problemet med ordlighed i grupper betyder faktisk uafgøreligheden af Horn gruppeteori , dvs. den kan også tilskrives resultater relateret til kvasivarieteter.

Fremkomsten af teorien om kvasivarieteter som en uafhængig gren af universel algebra refererer til Maltsev, Tabata og Fujiwaras værker i slutningen af 1950'erne og begyndelsen af 1960'erne. Maltsevs rapport ved International Congress of Mathematicians i 1966 i Moskva, hvor nogle vigtige problemer relateret til kvasivarieteter blev formuleret, bidrog til væksten i matematikernes interesse for denne gren [10] .

En særlig bølge af interesse for teorien om kvasivarieteter manifesterede sig i 1970'erne, da Horn-logik begyndte at blive meget brugt i logisk programmering (primært i værker relateret til Prolog -programmeringssproget) og i databaseteori .

Noter

↑ Gorbunov, 1999 , Den grundlæggende forskel er, at algebraer studeres i teorien om varieteter, mens vilkårlige algebraiske systemer studeres i teorien om kvasi-varieteter, s. viii.
↑ Maltsev, 1970 , s. 268.
↑ Maltsev, 1970 , s. 269-270.
↑ Maltsev, 1970 , s. 270.
↑ Maltsev, 1970 , s. 271.
↑ Maltsev, 1970 , Teorem 2, Corollary 3, s. 271-272.
↑ Maltsev A.I. Om inddragelse af associative systemer i grupper // Matematisk samling. - 1999. - T. 6 , nr. 2 . - S. 331-336 .
↑ McKinsey J. Beslutningsproblemet for nogle sætningsklasser uden quqntifiers // Journal of Symbolic Logic. - 1943. - T. 8 . - S. 61-76 .
↑ R.P. Dilworth. Gitter med unikke komplementer // Transactions of American Mathematics Society. - 1945. - T. 56 . - S. 123-154 .
↑ Gorbunov, 1999 , s. vii-viii.

Litteratur

Gorbunov V. A. Algebraisk teori om kvasivarieteter. - Novosibirsk : Videnskabelig bog, 1999. - 368 s. — (Sibirisk skole for algebra og logik). - ISBN 5-88119-015-7 .
Aratmonov V. A.; Saliy V.N.; Skornyakov L. A.; Shevrin L. N.; Shulgeifer E. G. Universal algebraer // Generel algebra / under den generelle redaktion af Skornyakov L. A. . - M . : Nauka , 1991. - T. 2. - S. 295-367. - 480 s. — (Matematisk referencebibliotek). — 25.500 eksemplarer. — ISBN 5-02-014427-4 .
Maltsev AI algebraiske systemer. — M .: Nauka , 1970. — 392 s. - 17.500 eksemplarer.