Tangent bundt

Tangentbundtet af en glat manifold er et vektorbundt over , hvis fiber i punktet er tangentrummet ved punktet . Tangentbundtet betegnes normalt . $M$ $M$ $x\i M$ $T_{x}M$ $x$ $TM$

Et element i det samlede rum er et par , hvor og . Tangentbundtet har en naturlig topologi (ikke topologien for en disjunktiv forening) og en glat struktur , som gør det til en manifold. Dimensionen er lig med to gange dimensionen . $TM$ $(x,\;v)$ $x\i M$ $v\in T_{x}M$ $TM$ $M$

Topologi og glat struktur

Hvis er en dimensionel manifold, så har den et atlas af kort , hvor er en åben delmængde og $M$ $n$ $(U_{\alpha },\;\varphi _{\alpha })$ $U_{\alpha }$ $M$

\varphi _{\alpha }\colon U_{\alpha }\to \mathbb{R} ^{n}

er en homøomorfisme .

Disse lokale koordinater genererer en isomorfi mellem og for enhver . Du kan definere et display $U$ $T_{x}M$ $\mathbb {R} ^{n}$ $x\i U$

{\tilde \varphi }_{\alpha }\colon \pi ^{{-1}}(U_{\alpha })\to \mathbb{R} ^{{2n}}

hvordan

{\tilde \varphi }_{\alpha }(x,\;v^{i}\partial _{i})=(\varphi _{\alpha}(x),\;v^{1},\ ;\ldots ,\;v^{n}).

Disse kortlægninger bruges til at definere topologien og den glatte struktur på . $TM$

En delmængde af er åben, hvis og kun hvis er åben i for enhver . Disse kort er homeomorfismer af åbne delmængder af og , så de danner kort med glat struktur på . Overgangsfunktionerne ved kortskæringspunkter er givet af Jacobi-matricerne for de tilsvarende koordinattransformationer, så de er glatte afbildninger af åbne delmængder . $EN$ $TM$ ${\tilde \varphi }_{\alpha }(A\cap \pi ^{{-1))(U_{\alpha }))$ $\mathbb{R} ^{{2n}}$ $\alfa$ $TM$ $\mathbb{R} ^{{2n}}$ $TM$ $\pi ^{{-1}}(U_{\alpha }\cap U_{\beta })$ $\mathbb{R} ^{{2n}}$

Et tangentbundt er et specialtilfælde af en mere generel konstruktion kaldet et vektorbundt . Tangentbundtet af en dimensionel manifold kan defineres som et vektorbundt af rang over , hvis overgangsfunktioner er givet af Jacobianeren af de tilsvarende koordinattransformationer. $n$ $M$ $n$ $M$

Eksempler

Det enkleste eksempel er opnået for . I dette tilfælde er tangentbundtet trivielt og isomorf i forhold til projektionen . $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb{R} ^{{2n}}\to \mathbb{R} ^{n}$
Enhedscirkel . Dens tangentbundt er også trivielt og isomorf . Geometrisk er det en cylinder med uendelig højde (se billedet ovenfor). $S^{1}$ $S^{1}\ gange \mathbb{R}$
Et simpelt eksempel på et ikke-trivielt tangentbundt fås på enhedssfæren ; dette tangentbundt er ikke-trivielt på grund af pindsvinekæmningssætningen . $S^{2},$

Desværre kan kun tangentbundterne af den reelle linje og enhedscirklen tegnes , som begge er trivielle. For 2-manifolds er tangentbundtet en 4-manifold, så det er svært at repræsentere. $R$ $S^{1}$

Vektorfelter

Et vektorfelt er en glat vektorfunktion på manifolden, hvis værdi i hvert punkt er en vektor , der tangerer , det vil sige en jævn afbildning $M$ $M$

V\kolon M\toTM

sådan at billedet , betegnet med , ligger i tangentrummet ved punktet . På sproget med lokalt trivielle bundter kaldes en sådan kortlægning en sektion . Vektorfeltet på er et udsnit af tangentbundtet over . $x$ $V_{x}$ $T_{x}M$ $x$ $M$ $M$

Sættet af alle vektorfelter over er angivet med . Vektorfelter kan tilføjes punktvis: $M$ $\Gamma (TM)$

(V+W)_{x}=V_{x}+W_{x}

og gange med glatte funktioner på $M$

(fV)_{x}=f(x)V_{x},

opnåelse af nye vektorfelter. Sættet af alle vektorfelter erhverver derefter strukturen af et modul over den kommutative algebra af glatte funktioner på (betegnet med ). $\Gamma (TM)$ $M$ $C^{\infty }(M)$

Hvis der er en glat funktion, så giver operationen af differentiering langs vektorfeltet en ny glat funktion . Denne differentieringsoperator har følgende egenskaber: $f$ $x$ $xf$

Additivitet: . $X(f+h)=Xf+Xh$
Leibniz ' regel :. $X(fh)=(Xf)\cdot h+f\cdot (Xh)$

Et vektorfelt på en manifold kan også defineres som en operator med ovenstående egenskaber.

Et lokalt vektorfelt på er en lokal sektion af tangentbundtet. Det lokale vektorfelt er kun defineret på en åben delmængde af , og ved hvert punkt i , er en vektor fra det tilsvarende tangentrum angivet. Sættet af lokale vektorfelter på danner en struktur kaldet en blyant af rigtige vektorrum over . $M$ $U$ $M$ $U$ $M$ $M$

Kanonisk vektorfelt på TM

På hvert tangentbundt kan man definere et kanonisk vektorfelt. Hvis er lokale koordinater på , så har vektorfeltet formen $TM$ $(x,\;y)$ $TM$

V=\left.y^{i}{\frac {\partial }{\partial y^{i}}}\right|_{{(x,\;y))).

$V$ er et display . $V\colonTM\til TTM$

Eksistensen af et sådant vektorfelt på kan sammenlignes med eksistensen af en kanonisk 1-form på cotangensbundtet . $TM$

Se også