Involution (matematik)

Involution (fra lat. involutio - foldning, krølle) - en transformation , der er det omvendte af sig selv. Det antages desuden ofte, at en involution er en ikke-identisk kortlægning .

Definition

En funktion kaldes en involution hvis for nogen . $f\kolon X\til X$ $f(f(x)) = x$ $x\i X$

Egenskaber

Enhver involution er en bijektion .

Sammensætningen af to involutioner er en involution, hvis og kun hvis de pendler: . ${\displaystyle {f}\cirkel{g))$ $f$ $g$ ${f}\circ {g}=g\circ f$

Eksempler

$f(x) = -x$ , defineret på mængden af heltal , rationelle eller reelle tal ; $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$
de enkleste involutioner i mængden af reelle tal : $\mathbb {R}$ ${\dfrac {a}{x}}$ , , , , ; _ $ax$ ${\dfrac {x}{x-1))$ ${\dfrac {x+1}{x-1))$ ${\dfrac {x-1}{x+1}}$ ${\dfrac {ax+b}{cx-a}}$
$f(x)=\bar{x}$ er komplementet af sættet specificeret for delmængder af et eller andet universelt sæt ; $U$
$f(x)= \neg. x$ - logisk negation af boolsk algebra ;
Blandt flyets bevægelser er der to typer ikke-trivielle involutioner: centrale og spejlsymmetrier .
- Således svarer involutioner til linjer og punkter, hovedobjekterne for planimetri. Bachmanns aksiomatik er baseret på denne observation .
inversion ;
kompleks konjugation ;
Legendre transformation
En permutation er en involution , hvis hver involution er et produkt af usammenhængende transpositioner, for eksempel: $\tau$ $\tau\circ\tau=id$ $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ 5 & 7 & 4 & 3 & 1 & 8 & 2 & 6\end{pmatrix} = (1,5)(2 .7)(3.4)(6.8)$ .
- Antallet af involutioner i rækkefølgepermutationsgruppen bestemmes af formlerne: $n$ $a(0)=1,\ a(1)=1,\ a(n)=a(n-1)+(n-1)a(n-2),\ n>1$ (tilbagevendende formel), $a(n) = \sum_{k=0}^{[ n/2 ]}{\frac{n!}{2^k\cdot (n-2k)!\cdot k!))$ ,

(første værdier : 1, 1 , 2 , 4 , 10 , 26 , 76 , 232, 764, 2620, 9496, 35696, 140152 [1] ).

a(n)

Noter

↑ OEIS -sekvens A000085 _