Invariant mål

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 19. juni 2018; checks kræver 5 redigeringer .

Invariant mål - i teorien om dynamiske systemer , et mål defineret i faserum , forbundet med et dynamisk system og ikke ændrer sig over tid under udviklingen af tilstanden af et dynamisk system i faserum . Begrebet et invariant mål bruges i gennemsnittet af bevægelsesligningerne , i teorien om Lyapunov-eksponenter , i teorien om metrisk entropi og probabilistiske fraktale dimensioner [1] .

Definition

I teorien om dynamiske systemer siges et mål på et rum at være invariant for en målbar kortlægning , hvis det falder sammen med dets billede [2] . Per definition betyder det det $\mu$ $(X,\Sigma)$ $f:(X,\Sigma)\til (X,\Sigma)$ $f_* \mu$

\forall A\in \Sigma \quad \mu(A)=\mu(f^{-1}(A)). \qquad(*)

For reversible kortlægninger kan overgangen til forbilledet i (*) erstattes af overgangen til billedet: hvis kortlægningen også er målbar i betydningen , så er definitionen ækvivalent $f^{-1}$ $(X,\Sigma)$

\forall A\in \Sigma \quad \mu(A)=\mu(f(A)).

Men i den generelle situation kan definitionen ikke ændres på denne måde: Lebesgue-målet på cirklen er invariant under fordoblingsmappingen , men buens mål er forskellig fra målingen af dens billede . $S^{1}$ $x\mapsto 2x \mod 1$ $[0.1/3]$ $[0.2/3]$

Eksempler

Display [3] . Perron-Frobenius-ligningen for den har formen . Ved at indsætte dette udtryk i dets højre side får vi :. Gentager vi denne udskiftning én gang, får vi: . Denne foranstaltning er stabil, det vil sige, at en vilkårlig kontinuerlig foranstaltning vil konvergere til den. $x_{n+1}=2x_{n}{\bmod {1}}\equiv f(x_{n})$ $p(x)={\frac {1}{2}}\left[p\left({\frac {x}{2}}\right)+p\left({\frac {x+1 }{2}}\right)\right]$ $p(x)={\frac {1}{4}}\left[p\left({\frac {x}{4}}\right)+p\left({\frac {x+1 }{4}}\right)+p\left({\frac {x+2}{4}}\right)+p\left({\frac {x+3}{4}}\right)\right ]$ $n$ $p(x)={\frac {1}{2^{n))}\sum _{i=0}^{2^{n}-1}p\left({\frac {x+ i }{2^{n}}}\right)\xrightarrow {n\to \infty } \int _{0}^{1}p(x)\,dx=1$
Vis eller , [4] . Eksistensen af et stabilt kontinuerligt invariant mål c bevises på samme måde. $x_{n+1}=1-2|x_{n}|,x\in [-1,1]$ $x_{n+1}=1-2|2x_{n}-1|$ $x\in [0,1](1)$ $p(x)=\mathrm {konst}$
Logistic Mapping , [4] . Vi erstatter , , vi får , , som kan omdannes til formen (1). Derfor, for der er en kontinuerlig konstant sandsynlighedstæthed . Sandsynlighedstætheden for følger deraf :. ${\displaystyle x_{n+1}=1-2x_{n}^{2))$ $x\in [-1,1]$ $x=-\cos \pi \theta$ $\theta \in [0,1]$ ${\displaystyle -\cos \pi \theta _{n+1}=1-2(\cos \pi \theta _{n})^{2}=-\cos 2\pi \theta _{n))$ $\theta _{n+1}={\begin{cases}2\theta _{n},&\theta _{n}\leqslant {\frac {1}{2}}\\2-2 \theta _{n},&\theta _{n}>{\frac {1}{2}}\end{cases}}$ $\theta$ $p(\theta )=1$ $x$ $p(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {1-x^{2}}}}}$