Målbar plads

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 12. august 2011; checks kræver 14 redigeringer .

Et målbart rum er et par , hvor er et sæt og er noget -algebra af dets delmængder. [en] $(X,{\mathfrak {A}})$ $x$ ${\mathfrak {A}}$ $\sigma$

Grundlæggende information

Et målbart topologisk rum er et målbart rum , hvori en algebra er valgt genereret af en base af mængder af det topologiske rum X. Den minimale algebra, der indeholder alle åbne mængder, kaldes Borel - algebraen for rummet X; i dette tilfælde kaldes sættene Borel . $(X,{\mathfrak {A}})$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}$ $\sigma$ $\sigma$ $A\in {\mathfrak {A}}$

Et målbart rum kaldes adskilleligt , hvis der er et eller andet tælleligt system af mængder , der adskiller rummets punkter og genererer den tilsvarende algebra . Det siges, at et system af mængder adskiller punkter i rummet , hvis der for nogen er usammenhængende mængder, sådan at . $(X,{\mathfrak {A}})$ ${\mathfrak {C}}$ $x$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {C}}$ $x$ $x_{1},x_{2}\in X$ $A_{1},A_{2}\in {\mathfrak {C))$ $x_{1}\in A_{1},x_{2}\in A_{2}$

Produktet af målbare rum er det målbare rum , , hvori - algebra , er genereret af produktet af - algebraer og , dvs. genereres ved en semiring af alle mulige rektangulære sæt af formen , hvor , . $(X_{1},{\mathfrak {A}}_{1})$ $(X_{2},{\mathfrak {A}}_{2})$ $(X,{\mathfrak {A}})$ $X=X_{1}\ gange X_{2}$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}_{1}$ ${\mathfrak {A}}_{2}$ ${\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {A}}_{1}\time {\mathfrak {A}}_{2}$ $A_{1}\ gange A_{2}$ $A_{1}\in {\mathfrak {A}}_{1}$ $A_{2}\in {\mathfrak {A}}_{2}$

Lad være noget målbart rum og være et begrænset sæt af indekser . Et målbart rum , hvor er - et multipelprodukt af rummet i sig selv, og - algebra er - et multipelprodukt af de tilsvarende - algebraer , kaldes et målbart koordinatrum . Punkterne i dette rum er givet ved koordinater . Hvis et vilkårligt sæt, så er koordinatrummet defineret som samlingen af alle funktioner på sættet med værdier i rummet (individuelle værdier kan fortolkes som koordinaterne for et punkt, der hører til rummet ). $(E,{\mathfrak {B}})$ $T$ $t=1,...,n.$ $(X,{\mathfrak {A}})$ $X=E^{T}$ $n$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}={\mathfrak {B}}^{T}$ $n$ $\sigma$ ${\mathfrak {B}}$ ${\displaystyle x={x(1),...,x(n)))$ $X=E^{T}$ $x(t),t\in T$ $T$ $X=E^{T}$ $x=x(t)$ $T$ $E$ $x(t)$ $x=x(t)$ $X=E^{T}$

Lade være vilkårlige punkter af sættet , hvor er et endeligt tal, og er vilkårlige delmængder af rummet . Masser af slags $t_{1},...,t_{n}$ $T$ $n$ ${\displaystyle B_{1},...,B_{n))$ $E$

{x(t_{1})\i B_{1},...,x(t_{n})\i B_{n))

der hører til rummet kaldes et cylindrisk sæt i . Med andre ord består det cylindriske sæt af dem og kun de punkter, hvis koordinater er inkluderet i de tilsvarende sæt . Systemet med alle cylindriske sæt, som er inkluderet i rummets -algebra , er en semiring . Et målbart koordinatrum er et rum med en algebra genereret af en semiring . $x$ $X=E^{T}$ $x=x(t)$ $x(t_{1}),...,x(t_{n})$ ${\displaystyle B_{1},...,B_{n))$ ${\displaystyle B_{1},...,B_{n))$ $\sigma$ ${\mathfrak {B}}$ $E$ ${\mathfrak {B}}^{T}$ $(X,{\mathfrak {A}})$ $X=E^{T}$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {B}}^{T}$

Lad , være en algebra genereret af en semiring af alle mulige cylindriske sæt med vilkårlige indekser . Hvis et punkt i rummet er inkluderet i mængden fra og et andet punkt er sådan, at de tilsvarende koordinater for disse punkter er de samme: for alle , så er det også inkluderet i . Ethvert sæt A fra - algebra hører samtidig til en - algebra , hvor - er et eller andet tælleligt sæt (afhængigt, generelt set, af mængden S under overvejelse). ${\mathfrak {A}}(S)$ $S\subseteq T$ $\sigma$ ${\mathfrak {B}}^{S}$ $t_{1},...,t_{n}\in S$ $x'=x'(t)$ $X=E^{T}$ $EN$ ${\mathfrak {A}}(S)$ $x''=x''(t)$ $x'(t)=x''(t)$ $t\in S$ $x''=x''(t)$ $EN$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}={\mathfrak {A}}(T)$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}={\mathfrak {A}}(S)$ $S$

Lad være en funktion på et målbart rum med værdier i et vilkårligt rum . Mættet af alle mængder , således at de omvendte billeder er i -algebraen af et rum, er en -algebra. $\phi =\phi (x)$ $(X,{\mathfrak {A}})$ $Y$ ${\mathfrak {B}}_{\phi }$ $B\subseteq Y$ $\{\phi \in B\}=\phi ^{-1}(B)$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}$ $(X,{\mathfrak {A}})$ $\sigma$

Lad et vilkårligt rum og vær en funktion på med værdier i et målbart rum . Sættet af alle sæt , der er forbilleder fra - algebra : er - algebra. $x$ $\phi =\phi (x)$ $x$ $(Y,{\mathfrak {B}})$ ${\mathfrak {A}}^{\phi }$ $A\subseteq X$ $B$ $\sigma$ ${\mathfrak {B}}$ $A=\{\phi \in B\}$ $\sigma$

Lad , være målbare rum. En funktion kaldes ( ) målbar, hvis forbilledet er inkluderet i -algebraen . Hvis et system af sæt genererer -algebra , så er funktionen målbar, hvis og kun hvis forbilledet kommer ind . $(X,{\mathfrak {A}})$ $(Y,{\mathfrak {B}})$ $\phi =\phi (x)$ ${\mathfrak {A},{\mathfrak {B}}$ $B\in {\mathfrak {B}}$ $A=\{\phi \in B\}$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {C}}$ $\sigma$ ${\mathfrak {B}}$ $\phi$ $B\in {\mathfrak {C}}$ $\{\phi \in B\}$ ${\mathfrak {A}}$

Bemærk

↑ 1 2 Prokhorov Yu. V. , Rozanov Yu. A. Sandsynlighedsteori (Grundlæggende begreber. Limit-sætninger. Tilfældige processer) - M .: Hovedudgave af fysisk og matematisk litteratur, Nauka Publishing House, 1973. - 496 sider.