Lukning (algebra)

Generelt algebra er lukningen af et sæt i forhold til et givet sæt af algebraiske operationer den mindst mulige (dvs. uden at indeholde andre lignende) udvidelser af et givet sæt, hvor enhver anvendelse af disse operationer på elementer af en sådan udvidelse gør ikke gå ud over sine grænser. Minimumsudvidelsen vil altid eksistere som skæringspunktet mellem alle beskrevne udvidelser.

Formelt, lad være en delmængde af bæreren af nogle algebra . Så er lukningen af sættet i forhold til signaturen den minimale subalgebra indeholdende ( ). $M$ $EN$ ${\mathfrak A}=\langle A,\Sigma \rangle$ $M$ $\Sigma$ $\langle A_{0},\Sigma \rangle \subseteq {\mathfrak A}$ $M$ $M\subseteq A_{0}$

Eksempler:

Lukningen af sættet med hensyn til operationen af addition vil være sættet af alle naturlige tal . $\{en\}$ $\mathbb {N}$
Lukningen af mængden med hensyn til operationerne med addition og subtraktion vil være sættet af alle heltal , $\{en\}$ $\mathbb {Z}$
Lukningen af et sæt under addition, multiplikation eller begge operationer falder sammen med sig selv. $\{0\}$

Et sæt, der falder sammen med dets lukning, kaldes algebraisk lukket (med hensyn til et givet sæt operationer).

Eksempler:

Undergruppen er lukket under gruppedriften.
Delmængden af naturlige tal i sættet af heltal er lukket under operationen addition , men er ikke lukket under operationen subtraktion . $\mathbb {N}$ $\mathbb {Z}$

Lukning (algebra)

Se også