Lov om den itererede logaritme

Loven om den itererede logaritme er den begrænsende lov for sandsynlighedsteori . Sætningen bestemmer vækstrækkefølgen af divisoren af en sekvens af summer af stokastiske variable, hvorunder denne sekvens ikke konvergerer til nul, men forbliver næsten overalt i endelige grænser.

For tilfældet med en sekvens af summer af uafhængige stokastiske variable med samme fordeling med to værdier, blev sætningen bevist af A. Ya. Khinchin i 1924 [1] [2] . Den første generelle typesætning blev bevist af A. N. Kolmogorov i 1929 [3] [4] .

Sætning

Lade være uafhængige identisk fordelte stokastiske variable med nul matematisk forventning og enhed varians . Lad så næsten sikkert : ${Y_{n}}$ $S_{n}=Y_{1}+\dots +Y_{n}.$

\limsup _{n\to \infty }{\frac {S_{n}}{\sqrt {n\ln \ln n}}}={\sqrt {2}},

\liminf _{n\to \infty }{\frac {S_{n}}{\sqrt {n\ln \ln n}}}=-{\sqrt {2}},

hvor er den naturlige logaritme af , er den øvre grænse for , er den nedre grænse for . $\ln$ $\limsup$ $\liminf$

Generaliseringer og tilføjelser

Generaliseringer af Kolmogorovs itererede logaritmelov for sekvenser af uafhængige afgrænsede ulige fordelte stokastiske variabler blev undersøgt af V. Feller [5] . En generalisering for funktionel konvergens blev givet af F. Strassen [6] . Han beviste også [7] , at hvis er en sekvens af uafhængige stokastiske variable, der har samme fordeling med uendelig varians, så $Y_{n}$

\limsup _{n\to \infty }{\frac {|S_{n}|}{\sqrt {n\ln \ln n))}=\infty .

Forholdet til andre grænsesætninger

Loven om den itererede logaritme ligger mellem loven om store tal og den centrale grænsesætning . Loven om store tal findes i to versioner - svag og styrket , de hævder, at summer med en divisor har tendens til henholdsvis nul i sandsynlighed og næsten sikkert : $S_{n}$ $n$

{\frac {S_{n}}{n}}{\stackrel {\mathbb {P} }{\longrightarrow }}0,\quad {\frac {S_{n}}{n}}\longrightarrow 0

næsten sikkert kl

n\to \infty .

Den centrale grænsesætning siger, at divisorsummer konvergerer til standardnormalfordelingen , og denne sekvens af summer konvergerer ikke til nogen bestemt størrelse, hverken i sandsynlighed eller næsten sikkert , men vandrer i det uendelige. $S_{n}$ ${\sqrt n}$

Divisoren i loven om den itererede logaritme fører til forskellige resultater for konvergens i sandsynlighed og næsten sikkert :

{\frac {S_{n}}{\sqrt {n\ln \ln n}}}{\stackrel {\mathbb {P} }{\longrightarrow }}0

og har tendens til ingenting, næsten sikkert kl .

n\til\infty

Selvom værdien således vil være mindre end en given værdi med en sandsynlighed, der tenderer til én, vil den nærme sig ethvert punkt i segmentet så tæt på, som det kan lide, næsten sikkert et uendeligt antal gange . $S_{n}/{\sqrt {n\ln \ln n))$ $\varepsilon >0$ $[-{\sqrt 2},{\sqrt 2}]$

Noter

↑ Khinchin A. Ya., "Fundam. matematik.", 1924, v. 6, s. 9-20.
↑ Khinchin A. Ya. "Basic Laws of Probability Theory" Arkivkopi dateret 23. november 2012 på Wayback Machine , 1932.
↑ Kolmogorov A.N., "Matematik. Ann.", 1929, Bd 101, S. 126–135.
↑ Iterated logaritm law - Encyclopedia of Mathematics artikel .
↑ W. Feller, "Den generelle form for den såkaldte lov for den itererede logaritme" Trans. amer. Matematik. soc. , 54 (1943), s. 373-402.
↑ V. Strassen, "Et invariansprincip for loven om den itererede logaritme" Z. Wahrsch. Verw. Geb. 3 (1964), s. 211-226.
↑ V. Strassen, "A converse to the law of iterated logaritm" Z. Wahrsch. Verw. Geb. , 4 (1965-1966), s. 265-268.