Stift system

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 13. september 2019; checks kræver 2 redigeringer .

Et rigidt system af almindelige differentialligninger (ODE) er (løst sagt) et sådant system af ODE'er, hvis numeriske løsning med eksplicitte metoder (f.eks. Runge-Kutta- eller Adams -metoderne ) er utilfredsstillende på grund af en kraftig stigning i antal beregninger (med et lille integrationstrin) eller fordi for en kraftig stigning i fejlen (den såkaldte fejleksplosion) med et utilstrækkeligt lille trin. Stive systemer er kendetegnet ved, at for dem giver implicitte metoder det bedste resultat, som regel uforlignelig bedre end eksplicitte metoder [1] .

Formel definition

Overvej Cauchy-problemet for et autonomt system af ODE'er af formen

{\begin{cases}{\dfrac {d{\mathbf {y}}(x)}{dx}}={\mathbf {F}}({\mathbf {y}}(x)),\quad { \mathbf {F}}({\mathbf {y}})\in C^{p}(\Omega ),\quad \Omega \subset \mathbb{R} ^{m},\\{\mathbf {y }}(x_{0})={\mathbf {y}}_{0}\in \Omega ,\end{cases}}

(en)

hvor er en ukendt vektorfunktion , er en given vektorfunktion, er en uafhængig variabel, er en startbetingelse . ${\mathbf {y}}(x)$ ${\mathbf {F}}({\mathbf {y}})$ $x$ ${\mathbf {y}}(x_{0})={\mathbf {y}}_{0}$

System (1) kaldes stift , hvis følgende betingelser er opfyldt for nogen begyndelsesværdier på et givet segment, der tilhører intervallet for eksistensen af løsningen (1) : ${\mathbf {y}}(x_{0})={\mathbf {y}}_{0}$ $[x_{0},\;x_{{\mathrm {end}}}]$

det maksimale modul for egenværdierne af Jacobi-matricen ( spektral radius ) er afgrænset langs løsningen : $\rho$ ${\mathbf {y}}(x)$

0<L\leqslant \rho \left({\frac {\partial {\mathbf {y))(x)}{\partial x))\right)\leqslant \left\|{\frac {\partial {\ mathbf {y}}(x)}{\partial x}}\right\|=\left\|\left.{\frac {\partial K(x+\xi ,\;x)}{\partial \xi } }\right|_{{\xi =0}}\right\|<+\infty ,\quad x_{0}\leqslant x\leqslant x_{{\mathrm {end}}};

der er tal , , , som opfylder følgende betingelser: $\xi _{{\mathrm {b}}}$ $N$ $\nu$

0<\xi _{{\mathrm {b}}}\ll x_{{\mathrm {end}}},\quad N\gg 1,\quad 1\leqslant \nu \leqslant p,\quad 0<\ xi _{{\mathrm {b}}}\leqslant x+\xi _{{\mathrm {b}}}\leqslant x+\xi \leqslant x_{{\mathrm {end}}};

følgende ulighed er sand:

\left\|{\frac {\partial ^{\nu}K(x+\xi ,\;x)}{\partial \xi ^{\nu ))}\right\|\leqslant \left({\frac {L}{N}}\right)^{\nu }.

Her

K(x+\xi,\;x)=X(x+\xi)X^{{-1}}(x);

X(x)

er ligningens fundamentale matrix i variationer for system (1) ;

\|A\|=\|A\|_{m}=\max _{i}\sum _{{j=1}}^{m}|a_{{ij}}|

er matrix- normen .

m

\xi _{{\mathrm {b}}}

er den såkaldte længde (parameter) af grænselaget.

Stive differentielle ODE-systemer omfatter også systemer, for hvilke disse betingelser er opfyldt efter skalering af vektorkomponenterne på hver opløsning. ${\mathrm {y}}(x)$

Da ethvert ikke-autonomt ODE-ordresystem kan reduceres til et autonomt ved at indføre en ekstra hjælpefunktion, kaldes et ikke-autonomt ODE-system rigid , hvis det autonome ordresystem, der svarer til det, er stift . $m$ $m+1$

Noter

↑ Curtiss CF, Hirschfelder J. O. Integration of stiff equations Arkiveret 24. september 2015 på Wayback Machine // Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA. - 1952. - bd. 38(3). - pp. 235-243.

Litteratur

Hairer E., Wanner G. Løsning af almindelige differentialligninger. Rigide og differential-algebraiske problemer / Pr. fra engelsk. — M .: Mir, 1999. — 685 s. — ISBN 5-03-003117-0 . .
Curtiss CF, Hirschfelder J. O. Integration of stiff equations // Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA. - 1952. - bd. 38(3). - pp. 235-243.

Stift system

Formel definition

Noter

Litteratur

Links