Varighed

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 13. januar 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Varighed ( engelsk varighed - "varighed") - den vægtede gennemsnitlige løbetid for betalingsstrømmen , og vægtene er de tilbagediskonterede omkostninger ved betalinger. Varighed er den vigtigste egenskab ved cash flow, som bestemmer følsomheden af dens nuværende værdi over for ændringer i renten . Varigheden af et flow afhænger ikke kun af dets struktur, men også af den aktuelle rente. Jo højere sats, jo mindre andel af omkostningerne ved langfristede betalinger sammenlignet med korte, og jo kortere varighed, og omvendt, jo lavere sats, jo større varighed af betalingsstrømmen.

Begrebet varighed blev introduceret af den amerikanske videnskabsmand F. Macaulay ( eng. FR Macaulay ).

Definition, beregningsformel og fortolkning

Varighed - vægtet gennemsnit

Varigheden for ikke-optionsobligationer beregnes ved hjælp af den vægtede gennemsnitsformel som følger:

D={\overline {T}}={\frac {\sum _{i}\ PV_{i}\cdot t_{i}}{\sum _{i}PV_{i}}}={ \frac {\sum _{i}{\frac {CF_{i}}{(1+r)^{t_{i}}}}\cdot t_{i}}{\sum _{i}{\frac {CF_{i}}{(1+r)^{t_{i}}}}}}

eller

D={\overline {T}}={\frac {\sum _{i}{CF_{i}}\cdot {e}^{-{r_{c}}{t_{i}}} \cdot t_{i}}{\sum _{i}{CF_{i}}\cdot {e}^{-{r_{c}}{t_{i}}}}},

hvor:

{\displaystyle CF_{i))

— th betaling;

jeg

r

- diskonteringsrente , afkast af alternativ investering pr. tidsenhed (år, kvartal osv.);

r_{c}

- diskonteringssatsen for løbende rentetilskrivning;

PV_{i}

— tilbagediskonteret værdi af den første betaling;

t_{i}

— tidspunktet for den i - te betaling;

Nævneren af denne formel er et skøn over nutidsværdien af pengestrømmen ved en given diskonteringsrente. Hvis pengestrømmen genereres af et finansielt instrument, der har en markedsvurdering (eller anden) vurdering af den aktuelle pris, så er diskonteringsrenten i dette tilfælde det indre interne afkast af dette instrument (for obligationer, afkastet til udløb ). Denne sats bestemmes ud fra ligheden $P$

P=PV(r)=\sum _{i}{\frac {CF_{i}}{(1+r)^{t_{i}}}}.

Det antages, at markedet reelt bestemmer den nødvendige diskonteringsrente og afspejler afkastkravet på instrumenter med et tilsvarende risikoniveau.

Varighed er et mål for renterisiko

Hvis vi betragter den tilbagediskonterede værdi af pengestrømmen som en funktion af renten, så kan vi vise, at varigheden af pengestrømmen er lig med den tilbagediskonterede værdi af pengestrømmen ved renten (eller tilsvarende ved ) , taget med det modsatte fortegn af elasticitet (logaritmisk afledt) , dvs $1+r$

D=-{\frac {d\ln PV}{d\ln(1+r)))=-{\frac {dPV/PV}{d(1+r)/(1+r)} }=-{\frac {1+r}{PV}}{\frac {dPV}{dr}}.

Følgelig,

dPV/PV=-Dd\ln(1+r)=-Ddr/(1+r).

Med små ændringer i satser kan differenser blot erstattes af ændringer:

\delta PV=\Delta PV/PV\approx =-D\delta r=-D\Delta r/(1+r).

Varigheden giver således mulighed for en forenklet vurdering af graden af afhængighed af instrumentets markedspris af ændringer i renten. Jo længere varighed instrumentet har, desto større er ændringen i dets markedsværdi, når rentesatserne ændres, det vil sige, jo højere renterisiko er .

Ændret varighed

Hvis vi i ovenstående omtrentlige lighed bruger den såkaldte modificerede varighed lig med

MD=-{\frac {d\ln PV}{dr}}=D/(1+r),

vurdering af rentefølsomhed er forenklet:

\delta PV\approx -MD\cdot \Delta r.

Bemærk

Når man estimerer den mulige ændring i dagsværdien af et pengestrømme ved brug af (modificeret) varighed, bør man tage hensyn til den omtrentlige karakter af dette skøn. Desuden er der ud over kvantitative unøjagtigheder også en kvalitativ forskel mellem den sande afhængighed og lineariseret ved hjælp af varighed eller modificeret varighed: de samme positive og negative ændringer i renten påvirker prisændringen i samme absolutte værdi. I virkeligheden er dette ikke tilfældet — prisen ændrer sig asymmetrisk med stigende og faldende satser, nemlig at sænke satsen fører til en større stigning i prisen end sænkning af prisen, når satsen hæves med samme absolutte værdi. Med henblik på afklaring (både kvantitativ og kvalitativ) anvendes sammen med varigheden også den såkaldte pengestrømskonveksitet , som er en andenordens korrektion. Denne justering af prisændringen afhænger af kvadratet af kursændringen (det vil sige, den afhænger ikke af tegnet), så når kurserne stiger, reducerer det graden af prisfald forudsagt af varighed, og når kursen falder, øger væksten beregnet efter varighed. Der tages således også højde for asymmetrien og skønnet specificeres kvantitativt.

En anden version af et mere præcist estimat er baseret på det faktum, at den kvalitative unøjagtighed er forbundet ikke kun (og ikke så meget) med linearisering, men også med udskiftning af ændringer i logaritmer med almindelige vækstrater. Hvis vi bruger selve logaritmerne, vil estimaterne være kvalitativt mere passende til den sande afhængighed (selvom der også vil være en kvantitativ unøjagtighed):

\Delta \ln PV=-D\Delta \ln(1+r).

Fra dette forhold udledes følgende mere sande omtrentlige afhængighed af ændringen i den aktuelle værdi:

\delta PV\approx (1+\Delta r/(1+r))^{-D}-1.

I denne afhængighed tages asymmetrien naturligt i betragtning (denne beregningsmetode er mere nøjagtig, men noget mindre bekvem på grund af afhængighedens ikke-linearitet).

Yderligere fortolkning

I betragtning af den sidste omtrentlige lighed ovenfor, kan der gives endnu en fortolkning af varigheden. Overvej, hvordan de nuværende omkostninger ved flowet omtrent vil ændre sig, hvis renten falder til nul ( ): $\Delta r=0-r=-r$

\delta PV\approx (1+(-r)/(1+r))^{-D}-1=(1+r)^{D}-1.

følgelig

P(0)\ca. P(r)(1+r)^{D}.

Det er indlysende, at - det samlede beløb af cash flow. Således kan varigheden (ved en given kurs) også fortolkes som en omtrentlig periode, hvor du skal investere et beløb til en kurs for at modtage et beløb svarende til det samlede cash flow ved udgangen af denne periode. Denne fortolkning er mere præcis, jo lavere satsen er. $P(0)=\sum _{i}CF_{i}$ $P(r)$ $r$

Varighed af nogle betalingsstrømme

Varigheden af en livrente

Det kan påvises, at varigheden af en livrente begrænset af løbetid T er lig med følgende værdi:

D={\frac {1+r}{r}}-{\frac {T}{(1+r)^{T}-1}}.

Den ændrede varighed kan opnås ved at dividere med . $1+r$

Her indebærer formlen den effektive sats for annuitetsintervallet og løbetiden og varigheden også i annuitetsintervallerne. Hvis vi bruger den årlige effektive rente, vil formlen for varigheden i år være:

D=t\ gange {\frac {(1+r)^{t}}{(1+r)^{t}-1}}-{\frac {T}{(1+r)^ {T}-1}},

hvor er varigheden af annuitetsintervallet i år (brøkdel af et år), er livrenteperioden i år, er den årlige effektive rente. For t = 1 får vi den foregående formel. $t$ $T$ $r$

For en evig livrente kan varighedsformlen defineres som grænsen for ovenstående formel ved (den anden periode i dette tilfælde vil tendere til nul). Du kan også udlede formlen direkte. Nutidsværdien af en evig livrente er . Lad os bruge formlen gennem derivatet. Den afledte af denne funktion med hensyn til er åbenbart lig med . Ved at gange denne værdi med og dividere med , får vi endelig varighedsformlen: $T\højrepil\infty$ $PV=A/r$ $r$ $-A/r^{2}$ $(1+r)$ $PV$

D=(1+r)/r.

Den ændrede varighed er i dette tilfælde åbenbart lig med . $MD=1/r$

Obligationsvarighed

For en nulkuponobligation med udløbsdato er nutidsværdien $N$ $t$

PV=N/(1+r)^{t}.

Det falder også sammen med den tilbagediskonterede værdi af en enkelt betaling, så dens varighed er simpelthen lig med obligationens løbetid:

D=t.

Ved en kuponobligation består pengestrømmen af kuponbetalinger og indfrielse af pari. I dette tilfælde kan indfrielsen af den pålydende værdi ske i rater (amortisering), og kuponrenten kan generelt ændres i løbet af obligationens cirkulationsperiode. Hvis værdien af kuponer er angivet med , og indløsningen af den pålydende værdi er , så vil varigheden af obligationen være lig med $C_{i}$ $N_{j}$

D={\frac {\sum _{i=1}^{m}{\frac {C_{i}}{(1+r)^{t_{i}}}}t_{i}+ \sum _{j=1}^{k}{\frac {N_{j}}{(1+r)^{t_{j}}}}t_{j}}{P}},

hvor er kursen på obligationen (det antages, at obligationens udløbsrente bruges som værdi, derfor ). $P$ $r$ $PV(r)=P$

Formlen vil have nøjagtig samme form, hvis vi i stedet for værdien af kuponer bruger de tilsvarende kuponrenter, i stedet for beløbene for tilbagebetalinger af den pålydende værdi - andele af tilbagebetalingerne af den pålydende værdi, og i stedet for prisen på obligation i monetære termer , brug standardprisen som en procentdel (andele) af den pålydende værdi. $C_{i}$ $N_{j}$ $P$

Ceteris paribus, jo længere løbetid og (eller) jo lavere kuponrente og (eller) jo lavere afkast til udløb, jo længere varighed af obligationen. Alt andet lige, jo oftere kuponen betales, jo kortere er varigheden.

I det enkleste tilfælde med en konstant kuponrente og en engangsindløsning af den pålydende værdi ved slutningen af løbetiden, kan du bruge funktionen VARIGHED indbygget i Microsoft Office Excel 2007 til at beregne varigheden .

Eksempel

Lad en kuponobligation med en pålydende værdi på 1000 rubler med en restløbetid på 2 år og 3 måneder gives. Indfrielsen af obligationen er et engangsbeløb ved løbetidens udløb. Kuponrente - 12% om året. Kuponbetalingsfrekvensen er 4 gange om året (det vil sige kuponstørrelsen er 30 rubler). Det antages, at den første kupon også forventes om 3 måneder. Den aktuelle markedspris på obligationen er 1.035,85 rubler.

Pengestrømmen fra obligationen (kvartalsvis) vil være (30,30,30,30,30,30,30,1030). Først og fremmest kan du ved hjælp af IRR-funktionen indbygget i Excel bestemme udbyttet til udløb - cirka 2,5 % pr. kvartal. På årsbasis er det omkring 10,38 % (inklusive renters rente), men i dette tilfælde er det ligegyldigt. Varigheden bliver

{\begin{aligned}D={\frac {1}{1035.85}}(&1\cdot 30/1{,}025^{1}+2\cdot 30/1{,}025^{2 }+3\cdot 30/1{,}025^{3}+4\cdot 30/1{,}025^{4}+\\&+5\cdot 30/1{,}025^{5} +6\cdot 30/1{,}025^{6}+7\cdot 30/1{,}025^{7}+8\cdot 1030/1{,}025^{8})\ca. \end {aligned}}

{\displaystyle \quad \approx (29{,}27+57{,}11+83{,}57+108{,}71+132{,}58+155{,}2+176{,}67+ 6762{,}95)/1035{,}85\ca.

\quad \approx 7506{,}1/1035{,}85\approx 7{,}246,

det vil sige cirka 7,25 kvartaler eller 1,81 år (ca. 1 år og 10 måneder) eller 661 dage.

Ved hjælp af varighed i år kan du estimere, hvor mange procent kursen på en obligation vil ændre sig, når afkastet ændres, for eksempel med 1 % om året. For at gøre dette estimerer vi den ændrede varighed: 1,81/1,035 = 1,74. Derfor vil den procentvise prisændring være 1,74 %. Dette svarer nogenlunde til prisen på 1.053,87 rubler til lavere priser og 1.017,82 rubler. når kurserne stiger. Et mere præcist estimat af følsomheden af en obligations værdi kan opnås ved yderligere at bruge pengestrømskonveksitet .

Varighed

Definition, beregningsformel og fortolkning

Varighed - vægtet gennemsnit

Varighed er et mål for renterisiko

Yderligere fortolkning

Varighed af nogle betalingsstrømme

Varigheden af en livrente

Obligationsvarighed

Eksempel

Se også

Links

Varighed

Definition, beregningsformel og fortolkning

Varighed - vægtet gennemsnit

Varighed er et mål for renterisiko

Yderligere fortolkning

Varighed af nogle betalingsstrømme

Varigheden af ​​en livrente

Obligationsvarighed

Eksempel

Se også

Links

Varigheden af en livrente