Differential binomial

I matematisk analyse er en differential binomial eller binomial differential en differential af formen

x^{m}(a+bx^{n})^{p}\;dx,

hvor a , b er reelle tal , a m , n , p er rationelle tal . Af interesse er integralet af differentialbinomiet:

I=\int x^{m}(a+bx^{n})^{p}\;dx.

Egenskaber

Ekspression af integralet i elementære funktioner

Integralet af det differentielle binomiale udtrykkes kun i elementære funktioner i tre tilfælde:

$s$ er et heltal. Substitutionen bruges , er fællesnævneren for brøker og ; $x=t^{k}$ $k$ $m$ $n$
${\frac {m+1}{n))$ er et heltal. Substitutionen bruges , er nævneren af brøken . $a+bx^{n}=t^{s}$ $s$ $s$
$p+{\frac {m+1}{n}}$ er et heltal. Substitutionen bruges , er nævneren af brøken . $ax^{{-n}}+b=t^{s}$ $s$ $s$

Relation til betafunktionen og den hypergeometriske funktion

Integralet af det differentielle binomiale er udtrykt i form af den ufuldstændige betafunktion :

I={\frac {1}{n}}a^{p}\left(-{\frac {a}{b}}\right)^{(m+1)/n}\cdot B_ {y}\venstre({\frac {m+1}{n)),p+1\højre),

hvor , og også gennem den hypergeometriske funktion : $y=-{\tfrac {b}{a}}x^{n}$

I={\frac {1}{m+1}}a^{p}\left(-{\frac {a}{b}}\right)^{(m+1)/n}y ^{(m+1)/n}\cdot {}_{2}F_{1}\venstre({\frac {m+1}{n)),-p;{\frac {m+1}{ n}}+1;y\right).

Eksempler

Integral

\int {\sqrt[{3}]{1+x^{2))}dx

er ikke udtrykt i elementære funktioner, her , og ingen af de tre betingelser for m, n og p er opfyldt. $m=0,n=2,p={1 \over 3}$

Samtidig er det integrale

\int {\sqrt {1+x^{2}}}dx={x{\sqrt {x^{2}+1}} \over 2}+{1 \over 2}\ln(x+ {\sqrt {x^{2}+1)))+C

som vi ser, er det udtrykt i elementære funktioner, da her , og , det vil sige er et heltal. $m=0,n=2,p={1 \over 2}$ ${m+1 \over n}+p=1$

Historie

Tilfældene af udtrykkelighed af det differentielle binomiale i elementære funktioner var kendt selv af L. Euler . Imidlertid blev uudsigeligheden af differentialbinomialet i elementære funktioner i alle andre tilfælde bevist af P. L. Chebyshev i 1853 [1] .

Se også

Liste over integraler af elementære funktioner

Noter

↑ P. Tchebichef. Sur l'intégration des différentielles irrationnelles (fransk) // Journal de mathématiques pures et appliquées :magasin. - 1853. - Bd. XVIII . - S. 87-111 .