Usammenhængende forening

Disjoint union ( også disjoint union eller disjoint sum ) er en modificeret mængdeforeningsoperation i mængdeteori , som uformelt består i forening af disjunkte "kopier" af mængder. Især vil den usammenhængende forening af to endelige mængder bestående af og elementer indeholde præcis elementer, selvom mængderne selv skærer hinanden. $-en$ $b$ $a+b$

Definition

Lad være en familie af sæt opført efter indeks fra . Så er den usammenhængende forening af denne familie sat $\{A_i | i \i I\}$ $jeg$

\bigsqcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}\{(x,i)|x\in A_{i}\}

Elementerne i en usammenhængende forening er ordnede par . Der er således et indeks, der viser fra hvilket sæt elementet kom ind i fagforeningen. Hvert af sættene er kanonisk indlejret i den disjunktive forening som et sæt $(x, i)$ $jeg$ $A_{i}$ $A_{i}$

A_i^* = \{(x,i) | x \in A_i\}.

For sæt og har ikke fælles elementer, selvom . I det degenererede tilfælde, når mængderne er lig med nogle specifikke , er den disjunkte forening det kartesiske produkt af sættet og sættet , dvs. $\forall i, j \in I: i \neq j$ $A_i^*$ $A_j^*$ $A_i \cap A_j \neq \varnothing$ $A_i \forall i \in I$ $EN$ $EN$ $jeg$

\bigsqcup _{i\in I}A_{i}=A\gange I.

Brug

Nogle gange vil du se notationen for den usammenhængende forening af to sæt, eller følgende for en familie af sæt: $A+B$

\sum_{i\in I}A_i.

Denne notation indebærer, at kardinaliteten af den disjunktive forening er lig med summen af kardinaliteterne af mængderne i familien. Til sammenligning har det kartesiske produkt en potens, der er lig med produktet af potenserne.

I kategorien af sæt er den usammenhængende forening den direkte sum . Udtrykket usammenhængende forening bruges også i forhold til foreningen af en familie af parvise usammenhængende sæt. I dette tilfælde betegnes den usammenhængende forening som den sædvanlige forening af sæt , der falder sammen med den. Denne notation findes ofte i datalogi . Mere formelt, hvis er en familie af sæt, så $C$

\bigcup_{A \in C} A

er en usammenhængende forening i den forstand, der er betragtet ovenfor, hvis og kun hvis for en eller flere af følgende betingelse er opfyldt: $EN$ $B$ $C$

A \neq B \antyder A \cap B = \varnothing.

Variationer og generaliseringer

Hvis alle sæt af en usammenhængende forening er udstyret med en topologi, så har den disjunkte forening af topologiske rum (det vil sige sæt udstyret med en topologi) i sig selv en naturlig topologi - den stærkeste topologi, således at hver inklusion er et kontinuerligt kort . En usammenhængende forening med denne topologi kaldes en usammenhængende forening af topologiske rum.

Se også

Litteratur

Aleksandryan R. A., Mirzakhanyan E. A. Generel topologi. - M . : Højere skole, 1979. - S. 132.
Spanier E. Algebraisk topologi . - M . : Mir, 1971. - S. 9 .
Melnikov O. V. et al. Generel algebra: I 2 bind T. 1. - M. : Nauka, 1990. - S. 13. - ISBN 5020144266 .