Delbar gruppe

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 13. april 2018; verifikation kræver 1 redigering .

En delelig gruppe er en gruppe sådan, at for enhver og ligningen $G$ $n\in {\mathbb N}$ $g\in G$

x^{n}=g

løselig. Ofte antages gruppen at være abelsk , og betingelsen skrives i additiv notation som . $nx=g$

En gruppe kaldes -delelig ( er et primtal ), hvis den for nogen er opløselig i ligningen . $EN$ $s$ $s$ $a\i A$ $EN$ $px=a$

Ikke-kommutative delbare grupper kaldes undertiden komplette (ikke at forveksle med komplette grupper , som er isomorfe i forhold til deres automorfi-gruppe).

Eksempler

Gruppen af alle rationelle tal ; $(\mathbb {Q} ,+)$
$s$ -primær kvasicyklisk gruppe , det vil sige en gruppe genereret af et tælligt sæt af elementer , der opfylder betingelsen $(\mathbb {Z} _{p^{\infty )),+)$ $a_{0},\,a_{1},\,\ldots ,\,a_{n},\,\ldots$

pa_{0}=0,\,pa_{1}=a_{0},\,\ldots ,\,pa_{n}=a_{n-1},\,\ldots

Egenskaber for delbare grupper

Det homomorfe billede af en delelig Abelsk gruppe er en delelig gruppe.
En abelsk gruppe er delelig, hvis og kun hvis den er -delelig for hvert primtal . $s$ $s$
Hver delbar undergruppe er kendetegnet ved en direkte summand.
- Derfor er delbare Abelske grupper injektiviske objekter i kategorien Abelske grupper ( -moduler). Det samme udsagn gælder også i kategorien moduler over ethvert domæne af principielle idealer . $\mathbb {Z}$
Enhver Abelsk gruppe nedbrydes til en direkte sum , hvor er en delelig gruppe (det kaldes den delbare del af gruppen ), og er en reduceret gruppe, det vil sige en gruppe, der ikke indeholder ikke-nul-delelige undergrupper. $EN$ $A=D\oplus R$ $D$ $EN$ $R$

Opbygning af delbare grupper

Hvis er en vilkårlig delelig abelsk gruppe, så $EN$

A\cong \bigoplus \limits _{r_{0}(A)}\mathbb {Q} \oplus \bigoplus \limits _{p\in P}\bigoplus \limits _{r_{p}(A )}\mathbb {Z} _{p^{\infty }}

Relaterede definitioner

Hvis ligningerne angivet i definitionen i en hel gruppe er entydigt løselige, kaldes det D -gruppe . Sådanne er især lokalt nilpotente komplette torsionsfrie grupper .

Litteratur

L. Fuchs Uendelige abelske grupper. T. 1, 2. - M .: Mir, 1974, 1977.
AG Kurosh Teori om grupper . — M.: Fizmatlit , 2011. — ISBN 978-5-9221-1349-6 .