Cremona gruppe

Cremona-gruppen er gruppen af birationale automorfier af et dimensionelt projektivt rum over feltet . Gruppen blev introduceret i betragtning i 1863-1865 af Luigi Cremona [1] [2] . Gruppen betegnes som , eller . $n$ $k$ $Cr(\mathbb {P} ^{n}(k))$ $Bir(\mathbb {P} ^{n}(k))$ $Cr_{n}(k)$

Cremona-gruppen er naturligt identificeret med gruppen af automorfismer af feltet af rationelle funktioner af ukendte over , eller den transcendentale udvidelse af feltet med grad af transcendens . $\mathrm {Aut} _{k}(k(x_{1},...,x_{n}))$ $n$ $k$ $k$ $n$

Den projektive fulde lineære gruppe af rækkefølgen af projektive transformationer er indeholdt i Cremona-gruppen i ordenen . De falder kun sammen i tilfælde, hvor eller , hvor tælleren og nævneren for transformationen er lineære. $n+1$ $n$ $n=0$ $n=1$

Cremona-gruppen i rum af dimension 2

I rum af dimension to gav Gizatullin [3] en fuldstændig beskrivelse af relationerne for systemet af gruppegeneratorer. Strukturen af denne gruppe er stadig ikke helt klar, selvom der er et stort antal værker om at finde dens elementer eller undergrupper.

Serge Kanta og Stephane Lamy [4] viste, at Cremona-gruppen ikke er enkel som en abstrakt gruppe.
Jeremy Blank viste, at gruppen ikke har nogen ikke-trivielle normale undergrupper og er lukket i den naturlige topologi.
Dolgacheva og Iskovskikh skrev en artikel om endelige undergrupper af Cremona-gruppen [5] .

Cremona-gruppen i rum med dimension 3 eller mere

Lidt er kendt om strukturen af Cremona-gruppen i rum af dimension 3 og højere, selvom mange elementer af denne gruppe er blevet beskrevet. Blank [6] viste, at den er (sti) forbundet ved at besvare Serras spørgsmål [7] . Der er ingen simpel analog til Noether-Castelnuovo-sætningen, da Hudson [8] viste, at Cremona-gruppen i dimension på mindst 3 ikke er genereret af dens gradelementer, der er afgrænset af et fast tal.

De Jonquières grupper

De Jonquière-gruppen [9] er en undergruppe af Cremona-gruppen af følgende type. Vi vælger et transcendensgrundlag for feltudvidelsen . Så er de Jonquière-gruppen undergruppen af automorfier, der kortlægger underfeltet ind i sig selv for nogle . Den har en normal undergruppe givet af Cremona-gruppen af automorfismer over marken , og kvotientgruppen er Cremona-gruppen over marken . Det kan betragtes som gruppen af birationale automorfismer af fibret skær . $x_1, ..., x_n$ $k$ $k(x_{1},...,x_{n})$ $k(x_{1},...,x_{r})$ $r\leqslant n$ $k(x_{1},...,x_{n})$ $k(x_{1},...,x_{r})$ $k(x_{1},...,x_{r})$ $k$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{r}\times \mathbb {P} ^{nr}\to \mathbb {P} ^{r))$

Hvis og , de Jonquière-gruppen er Cremona-gruppen af transformationer, der bevarer blyanten af linjer gennem det givne punkt, og det er et halvdirekte produkt af og . $n=2$ $r=1$ $\mathrm {PGL} _{2}(k)$ $\mathrm {PGL} _{2}(k(t))$

Noter

↑ Cremona, 1863 , s. 305-311.
↑ Cremona, 1865 , s. 269-280, 363-376.
↑ Gizatullin, 1982 .
↑ Cantat, Lamy, 2010 .
↑ Dolgachev, Iskovskikh, 2009 .
↑ Blanc, 2010 .
↑ Serre, 2010 .
↑ Hudson, 1927 .
↑ Der er forskellige stavemåder af efternavnet. Så I. R. Shafarevich skriver det med en bindestreg: de Jonquière. Shafarevich giver følgende definition af de Jonquière-gruppen: de Jonquière transformation: , hvor og er et vilkårligt polynomium i variable . $(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})\to (y_{1},y_{2},\dots,y_{n})$ $y_{i}=a_{i}x_{i}+f_{i}(x_{i+1},\dots ,x_{n}),a_{i}\neq 0$ $f_{i}$ ${\displaystyle x_{i+1},\dots ,x_{n))$

Litteratur

Maria Alberich-Carraminana. Geometri af flyet Cremona kort. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 2002. - T. 1769. - (Lecture Notes in Mathematics). — ISBN 978-3-540-42816-9 . - doi : 10.1007/b82933 .
Jeremy Blanc. Groupes de Cremona, connexité et simplicité // Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. - 2010. - T. 43 , no. 2 . — S. 357–364 . — ISSN 0012-9593 . - doi : 10.24033/asens.2123 .
Serge Cantat, Stephane Lamy. Normale undergrupper i Cremona-gruppen // Acta Mathematica. - 2010. - T. 210 , no. 2013 . — S. 31–94 . - . - arXiv : 1007.0895 .
Julian Lowell Coolidge. En afhandling om algebraiske plankurver . - Oxford University Press , 1931. - ISBN 978-0-486-49576-7 .
Cremona L. Sulla trasformazioni geometiche delle figure piane . Giornale di matematiche di Battaglini. - 1863. - T. 1.
Cremona L. Sulla trasformazioni geometiche delle figure piane // Giornale di matematiche di Battaglini. - 1865. - T. 3 .
Michel Demazure. Sous-groupes algébriques de rang maximum du groupe de Cremona // Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. - 1970. - T. 3 . — S. 507–588 . — ISSN 0012-9593 .
Igor V. Dolgachev. Klassisk algebraisk geometri: et moderne syn . - Cambridge University Press , 2012. - ISBN 978-1-107-01765-8 . Arkiveret 31. maj 2014 på Wayback Machine
Igor V. Dolgachev, Vasily A. Iskovskikh. Finite undergrupper af flyet Cremona-gruppen // Algebra, aritmetik og geometri: til ære for Yu. I. Manin. Vol. I. - Boston, MA: Birkhäuser Boston, 2009. - T. 269. - S. 443-548. - (Progr. Matematik.). — ISBN 978-0-8176-4744-5 . - doi : 10.1007/978-0-8176-4745-2_11 .
Dolgachev I.V., Iskovskikh V.A. Algebraiske sorters geometri . - 1974. - T. 12. - S. 77 \u003d 170. - (Resultater af videnskab og teknologi. Ser. Algebra, Topologi, Geometri).
Gizatullin M. Kh. Konstitutive relationer for Cremona-gruppen i flyet // Izv. USSR's Videnskabsakademi .. - 1982. - T. 46 , nr. 5 . — S. 211–268 .
Lucien Godeaux. Les transformations birationelles du plan. - Gauthier-Villars et Cie, 1927. - Vol. 22. - (Mémorial des sciences mathématiques).
Michiel Hazewinkel. Cremona-gruppen, Cremona-transformation // Encyclopedia of Mathematics. - Springer Science+Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .
Hilda Phoebe Hudson. Cremona-transformationer i fly og rum . - Cambridge University Press , 1927. - ISBN 978-0-521-35882-8 .
Semple JG, Roth L. Introduktion til algebraisk geometri. - The Clarendon Press Oxford University Press, 1985. - (Oxford Science Publications). — ISBN 978-0-19-853363-4 .
Jean-Pierre Serre . En Minkowski-stil bundet til rækkefølgerne af de endelige undergrupper af Cremona-gruppen af rang 2 over et vilkårligt felt // Moscow Mathematical Journal. - 2009. - T. 9 , no. 1 . — S. 193–208 . — ISSN 1609-3321 .
Jean-Pierre Serre . Le groupe de Cremona et ses sous-groupes finis . — Asterisk. - 2010. - S. 75-100. — (Seminaire Bourbaki 1000). - ISBN 978-2-85629-291-4 .