Erdős-Graham hypotese

Erdős-Graham- formodningen er en formodning i kombinatorisk talteori vedrørende problemet med at opdele et sæt heltal større end et i et endeligt antal delmængder, hvoraf den ene kan bruges til at danne en egyptisk brøk, der repræsenterer enhed. Erdős og Graham formodede, at for enhver og enhver -farvning af heltal større end et, er der en endelig monokromatisk delmængde af disse heltal, således at: $r>0$ $r$ $S$

\sum _{n\in S}{\frac {1}{n}}=1

og det maksimale element i sættet kan begrænses til en værdi med en eller anden konstant uafhængig af . Det er kendt, at for rigtigheden af denne erklæring er det nødvendigt, at der ikke er mindre end tallet . $S$ $b^r$ $b$ $r$ $b$ $e$

Hypotesen blev bevist af Ernest S. Croot , III i 2003 , skønnet er meget højt - tallet bør ikke være mere end . Kroots resultat følger af en mere generel sætning, som hævder eksistensen af en repræsentation af enhed i form af en egyptisk brøk for sæt af glatte tal i intervaller af formen , hvor den indeholder et tilstrækkeligt stort antal tal, hvis sum af gensidige er mindst seks. Erdős-Graham-formodningen er afledt af dette resultat ved at finde et interval, hvor summen af de reciproke tal af alle glatte tal er mindst . Hvis de heltal er -farvede, skal der således være en monokromatisk delmængde af , der opfylder betingelsen for Kroots sætning. $b$ $e^{167000}$ $C$ $[X,X^{1+\delta }]$ $C$ $6r$ $r$ $C$

Erdős-Graham hypotese

Noter

Links