Konveks funktionel

En konveks funktionel er en funktionel , der er en konveks funktion , det vil sige, hvis epigraf er et konveks sæt .

Formelt kaldes en funktionel defineret på et lineært rum konveks, hvis [1] er sandt : $s$ $L$

p(\alpha x+\beta y)\leq \alpha p(x)+\beta p(y)\ ,\forall x,y\in L,\forall \alpha ,\beta \geqslant 0,\ alfa+\beta=1

.

Eksempler på konvekse funktionaler er seminormen , normen , den lineære funktionelle og Minkowski-funktionelle af et konveks og symmetrisk sæt.

Hvis og er konvekse funktionaler, er et positivt tal, så er følgende funktionaler konvekse: $s$ $q$ $\alfa$

$(p+q)(x)=p(x)+q(x)$
$(\alpha p)(x)=\alpha p(x)$
$(p\vee q)(x)=\max(p(x),q(x))$
Endelig foldning: $(p\oplus q)(x)=\inf _{y+z=x}(p(y)+q(z))$

Teorien om konvekse funktionaler bruges i konveks programmering [2] .

Links

Polovinkin E. S., Balashov M. V. Elementer af konveks og stærkt konveks analyse. — M.: Fizmatlit, 2004. — 416 s. — ISBN 5-9221-0499-3 .
Konveks funktionel artikel fra Encyclopedia of Mathematics . V. M. Tikhomirov

Noter

↑ Wheat, 1969 , s. 37.
↑ Wheat, 1969 , s. 49.

Litteratur

Hvede B.N. Nødvendige betingelser for et ekstremum. — M .: Nauka, 1969. — 150 s.