Variation i kurvetwist

Variationen af kurvens rotation er integralet af kurvens krumning langs dens længde.

Definition

Variationen af en kurves rotation i et plan eller i rummet er defineret som den mindste øvre grænse for summen af de ydre vinkler indskrevet i en polylinje . $\gamma$ $\gamma$

Hvis kurven er lukket, antages den indskrevne polylinje også at være lukket. $\gamma$

Noter

Hvis en glat kurve, parametriseret efter længde, er dens krumning , så er rotationsvariationen lig med integralet af krumningsmodulet: ${\displaystyle \gamma \colon [a;\,b]\to \mathbb {E} ^{d))$ $\kappa(s)$ $\int \limits _{a}^{b}|\kappa (s)|\cdot ds.$

Rotationsvariationen af en jævn regulær kurve kan også defineres som længden af dens tangentindikator ; det vil sige kurven dannet af enhedstangensvektorerne . ${\displaystyle \gamma \colon [a;\,b]\to \mathbb {E} ^{d))$ ${\displaystyle \tau (s)\colon [a;\,b]\to \mathbb {S} ^{d-1))$ $\tau (s)={\tfrac {{\dot {\gamma }}(s)}{|{\dot {\gamma }}(s)|}}$

Egenskaber

Fenchels kurve rotationssætning : Rotationsvariationen af enhver lukket kurve er mindst . Desuden, i tilfælde af lighed, er kurven flad og konveks. $2{\cdot}\pi$
Fari-Milnor knuderotationssætning : Rotationsvariationen for enhver knude er større . $4{\cdot }\pi$
DNA ulighed . Hvis en lukket plan kurve ligger i en konveks figur med omkreds, så overstiger dens længde ikke dens rotationsvariation. [en] $2{\cdot}\pi$
Usovs geodætiske sætning : Variationen af rotationen af en geodæt på grafen for en konveks funktion overstiger ikke det dobbelte af dens Lipschitz-konstant . [2] $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$
Vinkellængden af en lukket kurve i forhold til et vilkårligt punkt overstiger ikke dens rotationsvariation. [3]
Rotationsvariationen af en korteste kurve på en lukket konveks overflade er afgrænset af en universel konstant. [fire]

Variationer og generaliseringer

For plane kurver kan krumningen have et fortegn, og kurvens rotation kan defineres som et fortegnet integral af krumningen. Kurverotationssætningen er den differentielle geometriske modstykke til polygonvinkelsumsætningen .

Noter

↑ Nazarov, Alexander Ilyich, Fedor Vladimirovich Petrov. På formodning af S. L. Tabachnikov // Algebra og analyse . - 2007. - T. 19 , nr. 1 . - S. 177-193. . (Russisk)
↑ V. V. Usov. "På længden af et sfærisk billede af en geodæt på en konveks overflade." Siberian Mathematical Journal 17.1 (1976), s. 233-236
↑ A. Petrunin, S. Stadler. Seks beviser for Fáry-Milnor-sætningen // arXiv:2203.15137 [math.HO].
↑ N. Lebedeva, A. Petrunin. Om den totale krumning af minimering af geodætik på konvekse overflader // Algebra i Analiz. - 2017. - T. 29 , nr. 1 . - S. 189-208 . (Russisk)

Litteratur

Toponogov, V. A. Differentiel geometri af kurver og overflader . - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 978-5-89155-213-5 .