Fenchels kurvedrejningssætning
Fenchels teorem siger, at rotationsvariationen af enhver lukket kurve ikke er mindre , og lighed opnås kun i tilfælde af en konveks plan kurve. Især kan middelkrumningen af en lukket længdekurve ikke være mindre end .
Sætningen blev bevist af Werner Fenchel . [en]
Om bevis
Normalt er beviset baseret på påstanden om, at den sfæriske længdekurve er mindre end den ligger i den åbne halvkugle. Dette udsagn kan bevises, for eksempel ved at anvende Croftons formel , men mere elementære beviser kendes også.
Det er tilbage at bemærke, at kurven dannet af enhedstangensvektorerne (tangensindikator) til den oprindelige kurve ikke kan ligge i en åben halvkugle. Det betyder, at dens længde ikke er mindre end , men længden af denne kurve falder sammen med krumningsintegralet.
Variationer og generaliseringer
- Reshetnyaks akkordlemma Hvis en regelmæssig glat linje nærmer sig sin akkord i vinkler og , så er rotationen af kurven mindst .
- Dette udsagn følger let af Fenchels sætning, men det er ofte mere bekvemt at bruge det. For eksempel følger selve Fenchel-sætningen, hvis vi anvender lemmaet på opdelingen af en lukket kurve i to buer.
![{\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3949e127cdd1af020b06369df1a0b89d588f0fdf)
![{\displaystyle [\gamma (a),\gamma (b)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7b7afbeb3807195be2201db0a4646c4506d8d04)
Noter
- ↑ W. Fenchel (1929) Über Krümmung und Windung geschlossener Raumkurven (link ikke tilgængelig) , Mathematische Annalen 101: 238-252.
Litteratur
- Toponogov, V. A. Differentiel geometri af kurver og overflader . - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 978-5-89155-213-5 .