Usovs geodætiske sætning

Usovs geodætiske sætning giver et nøjagtigt skøn for variationen af rotationen af en geodætisk på grafen for en konveks Lipschitz-funktion.

Bevist af Vladimir Usov. [1] Beviset bruger Liebermans lemma .

Ordlyd

Lad der være en graf af en konveks Lipschitz funktion og en geodætisk på . Så overstiger rotationsvariationen ikke , hvor er Lipschitz-konstanten . ${\displaystyle \Sigma \subset \mathbb {R} ^{3))$ $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ $\gamma$ $\Sigma$ $\gamma$ $2\cdot L$ $L$ $f$

Noter

Dette skøn opnås for eksempel for keglen . Det er også muligt at udjævne funktionen omkring nul og dermed opnå et jævnt eksempel med lighed. ${\displaystyle f=L\cdot {\sqrt {x^{2}+y^{2))))$

Variationer og generaliseringer

Rotationsvariationen af den geodætiske subgraf af en vilkårlig -Lipschitz-funktion overstiger ikke . [2] $L$ $2\cdot L$
Rotationsvariationen af en korteste kurve på en lukket konveks overflade er afgrænset af en universel konstant. [3]

Noter

↑ V. V. Usov. "På længden af et sfærisk billede af en geodæt på en konveks overflade." Siberian Mathematical Journal 17.1 (1976), s. 233-236
↑ ID Berg. "Et skøn over den totale krumning af en geodætisk i euklidisk 3-rum-med-grænse." Geom. Dedicata 13 (1982), s. 1-6.
↑ N. Lebedeva, A. Petrunin. Om den totale krumning af minimering af geodætik på konvekse overflader // Algebra i Analiz. - 2017. - T. 29 , nr. 1 . — S. 189–208 . (Russisk)