Boolesk

Boolean ( grad af en mængde , eksponentiel mængde , sæt af dele ) er mængden af alle delmængder af en given mængde (inklusive nul-en og selve mængden A), angivet med eller (fordi den svarer til sættet af afbildninger fra til ). $EN$ ${\mathcal P}(A)$ $2^A$ $EN$ $\{0,1\}$

Hvis to sæt er ækvivalente , så er deres booleaner også ækvivalente. Den omvendte påstand (det vil sige injektiviteten af operationen for kardinaler ) er uafhængig af ZFC . $\kappa \mapsto 2^{\kappa }$

I kategorien af sæt kan man udstyre en funktion med strukturen af en kovariant eller kontravariant funktion som følger: ${\mathcal {P}}$

en kovariansfunktion afbilder en funktion til en funktion, således at den afbildes til et billede med hensyn til ; $f\kolon A\til B$ ${\mathcal {P}}f\colon {\mathcal {P}}A\til {\mathcal {P}}B$ $x$ $x$ $f$
den kontravariante funktor afbilder en funktion til sådan, at den afbildes til det fulde præbillede med hensyn til . $f\kolon A\til B$ ${\mathcal {P}}f\colon {\mathcal {P}}B\to {\mathcal {P}}A$ $x$ $x$ $f$

Et åbent matematisk problem : er der uendelige mængder og sådan, at mængdens kardinalitet er mindre end mængdens kardinalitet og mængdens kardinalitet er mindre end kardinaliteten af mængden af alle undermængder af mængden : ? [en] $EN$ $B$ $EN$ $B$ $B$ $EN$ $|A|<|B|<|2^{A}|$

Effekten af den endelige booleske

Følgende udsagn er sandt: antallet af delmængder af en endelig mængde bestående af elementer er lig med . Resultatet bevises ved matematisk induktion . I basen har det tomme sæt ( ) kun én delmængde - sig selv og . På induktionstrinnet anses påstanden for at være etableret for sæt af kardinalitet, og et vilkårligt sæt med kardinalnummer betragtes ; ved at fikse nogle elementer , er undersæt af sættet opdelt i to familier: $n$ $2^{n}$ $\varnothing$ $n=0$ $2^{0}=1$ $n$ $M$ $n+1$ $a_{0}\i M$ $M$

$M_{1}$ , indeholdende , $a_{0}$
$M_{2}$ , som ikke indeholder , dvs. er delmængder af sættet . $a_{0}$ $M\setminus \{a_{0}\}$

Delmængder af den anden type, ved induktionsantagelsen , er der nøjagtig det samme antal delmængder af den første type, da en delmængde af denne type opnås fra nogle og desuden en unik delmængde af den anden type ved at tilføje et element og , derfor: $2^{n}$ $a_{0}$