Født tilnærmelse

Born-tilnærmelsen i spredningsteorien anvendes til at beregne spredningen af kvantepartikler i den første orden af forstyrrelsesteori .

Kriteriet for anvendeligheden af Born-tilnærmelsen er følgelig kriteriet for anvendeligheden af perturbationsteori. Så for spredning af en massepartikel ved et potentiale , der virker på afstand , er tilnærmelsen bestemt anvendelig, hvis den potentielle energi er meget mindre end nulpunktsenergien , dvs. . Hvis den ikke er lille i forhold til , så bliver tilnærmelsen anvendelig for en tilstrækkelig hurtig partikel, for hvilken den karakteristiske frekvens for at være i potentialfeltet er meget større end selve potentialet, dvs. hvornår , hvor er de Broglie-bølgelængden af partiklen. $m\$ $V\$ $en\$ $E_{0}\$ $V\ll E_{0}\sim \hbar ^{2}/m(a)^{2}\$ $V\$ $E_{0}\$ $V\ll \hbar v/a\sim E_{0}(a/\lambda )\$ $\lambda\$

For differentialspredningstværsnittet ( tværsnit ind i rumvinkelelementet ) af en partikel med en ændring i momentum i Born-tilnærmelsen får man: $d\Omega$ $\hbar {\vec {q}}\$

d\sigma ={\frac {\mu ^{2}}{4\pi ^{2}\hbar ^{4}}}\left|\int V({\vec {r}})e ^{-i{\vec {q}}{\vec {r}}}d^{3}r\right|^{2}d\Omega ,

hvor er den reducerede masse . $\mu$

Dette resultat opnås lettest ud fra overgangssandsynligheden i det kontinuerlige spektrum af plane bølger :

w_{{p'p))={\frac {2\pi }{\hbar }}\left|V_{{p'p}}\right|^{2}\delta (E_{{p'}} -E_{p})d\nu _{{p'}}

hvor er tætheden af sluttilstande. Ved at erstatte energien af en fri partikel , beregne matrixelementet af potentialet i planbølgebasis og integrere over momentum af den spredte (endelige) tilstand , når vi straks til Born-formlen. $\nu _{{p'}}\$ $E_{p}=p^{2}/(2m)\$ $\psi _{({\vec {p))))({\vec {r)))=e^{{i{\vec {p}}{\vec {r}}/\hbar }}\$ $p'\$

Spredningsamplituden i Born-tilnærmelsen er reel og har formen:

f=-{\frac {m}{2\pi \hbar ^{2}}}\int V({\vec {r}})e^{-i{\vec {q}}{\ vec{r}}}d^{3}r.

I Born-tilnærmelsen er spredningsamplituden således Fourier-transformationen af spredningspotentialet. Virkeligheden af spredningsamplituden betyder dets lille argumentation, det vil sige spredningsfasen . I Born-tilnærmelsen har spredningsfaserne ved et centralt symmetrisk potentiale i tilstande med vinkelmomentum formen: $\hbar {\sqrt {l(l+1)))$

\delta _{l}=-{\frac {\pi m}{\hbar }}\int V(r)(J_{{l+{\frac {1}{2))))(qr))^{ 2}rdr,

hvor er Bessel-funktionen . $J_{{l+{\frac {1}{2}}}}(qr)$

Litteratur

Davydov A. S. Kvantemekanik. — M .: Nauka, 1973. — 704 s.
Prokhorov A. M. (red.). Fysisk encyklopædi . - M .: Soviet Encyclopedia , 1992. - T. 3. - 672 s. — ISBN 5-85270-034-7 .