Bijektion

En bijektion er en kortlægning , der er både surjektiv og injektiv . I en bijektiv mapping svarer hvert element i et sæt til nøjagtigt et element i et andet sæt, og en invers mapping er defineret, som har den samme egenskab. Derfor kaldes en bijektiv mapping også en en-til-en mapping (korrespondance).

En bijektiv kortlægning, der er en homomorfi , kaldes en isomorf korrespondance .

Hvis en en-til-en korrespondance (bijection) kan etableres mellem to sæt, så kaldes sådanne sæt ækvivalente . Med hensyn til mængdeteori er sæt af lige magt ikke til at skelne.

En en-til-en afbildning af et endeligt sæt på sig selv kaldes en permutation (eller substitution) af elementerne i dette sæt.

Formelt kaldes en funktion en bijektion (og betegnes med ), hvis den: $f\kolon X\til Y$ $f\colon X\leftrightarrow Y$

kortlægger forskellige elementer i et sæt til forskellige elementer i et sæt ( injektivitet ): $x$ $Y$ $\foralt x_1\i X,\;\foralt x_2\i X\; x_1 \ne x_2\Højrepil f(x_1) \ne f(x_2)$ .
ethvert element af har sit forbillede ( surjektivitet ): $Y$ $\foral y\i Y,\;\eksisterer x\i X\;f(x)=y$ .

Eksempler:

Identitetskortlægningen på et sæt er bijektiv. $\mathrm {id} \colon X\to X$ $x$
$f(x)=x,\;f(x)=x^{3}$ er bijektive funktioner fra til sig selv; i almindelighed er enhver monomial af en variabel af ulige grad en bijektion fra sig selv. $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$
$f(x)=e^{x}$ er en bijektiv funktion fra til . $\mathbb {R}$ $\mathbb{R} _{+}=(0,\;+\infty )$
$f(x)=\sin x$ er ikke en bijektiv funktion, hvis vi antager, at den er defineret på alt . $\mathbb {R}$
En strengt monoton og kontinuerlig funktion er en bijektion fra segment til segment . $f(x)$ $[a,b]$ $[f(a),f(b)]$

En funktion er bijektiv, hvis og kun hvis der er en invers funktion, således at: $f\kolon X\til Y$ $f^{{-1}}\kolon Y\til X$

\forall x\in X\;f^{{-1}}(f(x))=x

\foralt y\in Y\;f(f^{{-1}}(y))=y.

Hvis funktionerne og er bijektive, så er sammensætningen af funktioner også bijektiv, i dette tilfælde , det vil sige, at sammensætningen af bijektioner er en bijektion. Det omvendte er ikke sandt i det generelle tilfælde: hvis det er bijektivt, så kan vi kun sige, at det er injektivt, men surjektivt. $f$ $g$ $g\cirkel f$ $(g\circ f)^{{-1}}=f^{{-1}}\circ g^{{-1}}$ $g\cirkel f$ $f$ $g$

Litteratur

Vereshchagin N. K., Shen A. Del 1. Begyndelsen af mængdeteori // Forelæsninger om matematisk logik og teori om algoritmer. — 2. udg., rettet. - M .: MTSNMO , 2002. - 128 s.
Ershov Yu. L., Palyutin E. A. Matematisk logik: Lærebog. - 3. udg., stereotype .. - St. Petersborg. : Lan, 2004. - 336 s.

Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk catalansk Stor russer Stor russer Britannica (online)