Bialgebra

En bialgebra er et vektorrum over et felt , der både er en unital associativ algebra og en counital coassociativ coalgebra , således at de algebraiske og coalgebraiske strukturer er konsistente. Nemlig, comultiplication og counit er unital algebra homomorphisms , eller tilsvarende algebra multiplikation og unit er coalgebra morphisms (disse udsagn er ækvivalente, da de er udtrykt ved de samme kommutative diagrammer ).

En bialgebra-homomorfi er en lineær kortlægning , der både er en homomorfi af de tilsvarende algebraer og koalgebraer. Det kan ses ud fra symmetrien af kommutative diagrammer, at definitionen af en bialgebra er selv-dual , så hvis det er muligt at definere et dobbeltrum til vektorrummet, som bialgebraen er bygget på (hvilket altid er muligt, hvis det er endeligt -dimensional), så er det automatisk en bialgebra.

Definition

En bialgebra med multiplikation , enhed , comultiplication og count over et felt er en algebraisk struktur, der har følgende egenskaber: $(B,\nabla ,\eta ,\Delta ,\epsilon )$ $\nabla$ $\eta$ $\Delta$ $\epsilon$ $K$

$B$ er et vektorrum over feltet ; $K$
givet en multiplikation, det vil sige en lineær afbildning : over et felt (eller tilsvarende, en multilineær afbildning : over et felt ) og en enhed, det vil sige en lineær afbildning : , så det er en enhedsassociativ algebra ; $\nabla$ $B\otimes B\rightarrow B$ $K$ $\nabla$ $B\times B\rightarrow B$ $K$ $\eta$ $K\rightarrow B$ $(B,\nabla ,\eta )$
givet en comultiplication, det vil sige en lineær mapping : over et felt , og en count, det vil sige en lineær mapping : , så det er en counital coassociative coalgebra ; $\Delta$ $B\rightarrow B\otimes B$ $K$ $\epsilon$ $B\rightarrow K$ $(B,\Delta,\epsilon )$
kompatibilitetsbetingelserne er opfyldt, udtrykt ved følgende kommutative diagrammer :

multiplikation og comultiplication er konsekvente [1] $\nabla$ $\Delta$ hvor : er en lineær mapping defineret som for alle og ved , $\tau$ $B\otimes B\rightarrow B\otimes B$ $\tau (x\otimes y)=y\otimes x$ $x$ $y$ $B$
gange og tælle aftalt $\nabla$ $\epsilon$
komplikation og enhed er konsekvente [2] $\Delta$ $\eta$
aftalt enhed og enhed $\eta$ $\epsilon$

Noter

↑ Dăscălescu, Năstăsescu & Raianu. Hopf Algebras: En introduktion . - 2001. - S. 147 & 148. Arkiveret 25. september 2021 på Wayback Machine
↑ Dăscălescu, Năstăsescu & Raianu. Hopf Algebras: En introduktion . - 2001. - S. 148. Arkiveret 25. september 2021 på Wayback Machine

Bialgebra

Definition

Noter

Links