Et uendeligt system af lineære algebraiske ligninger

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 7. november 2021; checks kræver 2 redigeringer .

Et uendeligt system af lineære algebraiske ligninger er en generalisering af begrebet et system af lineære algebraiske ligninger til tilfældet med et uendeligt sæt af ukendte, defineret af metoder til funktionel analyse . Det giver mening ikke over et hvilket som helst felt , men for eksempel over reelle og komplekse tal. Det er også muligt at have en ligetil generalisering ved hjælp af metoder til korrekt lineær algebra , som adskiller sig fra den, der er beskrevet i artiklen.

Et uendeligt system af lineære algebraiske ligninger optræder ofte i processen med at løse forskellige problemer inden for fysik og teknologi ved hjælp af metoden med ubestemte koefficienter , for eksempel i problemer med varmeledning, bestemmelse af perihelium af Månens bevægelse i astronomi, i problemet med bestemmelse af den statiske afbøjning af et rektangulært legeme med faste ender. [en]

Definition

Et uendeligt system af lineære algebraiske ligninger er et uendeligt sæt af algebraiske ligninger af første grad med hensyn til et uendeligt sæt af ukendte: , . En løsning til et uendeligt system af lineære algebraiske ligninger er enhver rækkefølge af tal, således at alle serier konvergerer til . Løsningen af et uendeligt system af lineære algebraiske ligninger kaldes afgrænset, hvis tallene danner en afgrænset rækkefølge. ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{ik}x_{k}=b_{i))$ $i=1,2,...$ $\left\{x_{k}\right\}$ ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty}a_{ik}x_{k))$ $i=1,2,...$ $b_{{i}}$ $\left\{x_{k}\right\}$ $x_{k}$

Det er praktisk at overveje uendelige systemer af lineære algebraiske ligninger i form: , , . Et uendeligt system af lineære algebraiske ligninger kaldes helt regulært, hvis der eksisterer en positiv konstant sådan, at . ${\displaystyle x_{i}-\sum _{k=1}^{\infty }c_{ik}x_{k}=b_{i))$ $i=1,2,...$ ${\displaystyle c_{ik}=-a_{ik}+\delta _{ik))$ $q<1$ $\sum _{k=1}^{\infty }\left|c_{ik}\right|\leqslant q$

Et fuldstændig regulært uendeligt system af lineære algebraiske ligninger har en unik afgrænset løsning for enhver afgrænset samling af frie udtryk . Desuden, hvis for alle , så . [2] ${\displaystyle \left\{x_{i}\right\))$ $b_{{i}}$ $b_{i}\leqslant B$ $i=1,2,...$ $\left|x_{i}\right|\leqslant {\frac {B}{1-q))$

Uendelig determinant

I matrixen af koefficienter for et uendeligt lineært ligningssystem kan du kun lade de første rækker og kolonner stå og lave en kvadratisk størrelsesmatrix ud fra dem : $n$ $n$ $n\ gange n$

A(n)={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\cdots &a_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}

Lad os betegne determinanten for denne matrix som . $\Delta (n)=det(A(n))$

Hvis der er en grænse: , så kaldes det en uendelig determinant svarende til matricen [3] . $\Delta =\lim _{n\to \infty }\Delta (n)$ $a_{{ij}}$

En tilstrækkelig betingelse for at eksistere

Lad os repræsentere matricen i en ny form ved at udtrække summand lig med én fra alle dens diagonale medlemmer: ${\displaystyle a_{ij))$

a_{ij}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots \\a_{21}&a_{22}&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots \end {vmatrix}}={\begin{vmatrix}c_{11}+1&c_{12}&\cdots \\c_{21}&c_{22}+1&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots \end{ vmatrix}}

For at en uendelig matrixdeterminant skal eksistere og have egenskaber, der ligner dem for en almindelig determinant, er det tilstrækkeligt, at den uendelige dobbeltrække konvergerer . [3] $a_{{ij}}$ $\sum _{i,k=1}^{\infty }|c_{ik}|$

Løsning af et uendeligt system af lineære algebraiske ligninger

Hvis matrixen af et uendeligt system af lineære algebraiske ligninger har en uendelig determinant og ikke er lig med nul , og alle dets frie led er afgrænset i absolut værdi (det vil sige, der er et positivt tal , således at ), så har dette system en unik afgrænset løsning (det vil sige, at der er et positivt tal således, at ) bestemt af Cramers formler : $a_{{ij}}$ $M_{1}$ $|b_{k}|<M_{1},\forall k$ $M_{2}$ $|x_{k}|<M_{1},\forall k$

x_{k}={\frac {\Delta _{k)){\Delta ))

hvor er determinanten , som fås fra determinanten ved at erstatte elementerne i den k. kolonne med frie elementer. [fire] ${\displaystyle \Delta _{k))$ $\Delta$

Se også

System af lineære algebraiske ligninger

Noter

↑ Smirnov, 1933 , s. 57-61.
↑ Vulikh, 1958 , s. 215-218.
↑ 1 2 Smirnov, 1933 , s. 64.
↑ Smirnov, 1933 , s. 65.

Litteratur

Vulikh B.Z. Introduktion til funktionsanalyse. - M. : Fizmatlit, 1958. - 352 s. - 7500 eksemplarer.
Smirnov V. I. Kursus i højere matematik for teknikere og fysikere. Bind 3. - M . : Gostekhteorizdat, 1933. - 736 s. — 22.000 eksemplarer.