Affin forbindelse

En affin forbindelse er en lineær forbindelse på tangentbundtet af en manifold . Koordinatudtrykkene for den affine forbindelse er Christoffel-symbolerne .

På en glat manifold har hvert punkt sit eget tangentrum . En affin forbindelse tillader tangentrum langs den samme kurve at blive betragtet som tilhørende det samme rum, denne identifikation kaldes parallel translation . På grund af dette kan for eksempel operationer med differentiering af vektorfelter defineres .

Affin forbindelse og tensorregning

I det tredimensionelle euklidiske rum er driften af differentiering af vektorfelter defineret. Når derivatet af et vektorfelt på en manifold er defineret af en sådan formel, er den opnåede mængde ikke et vektorfelt (tensor). Det vil sige, at når man ændrer koordinater, transformeres den ikke ifølge tensorloven. For at resultatet af differentiering skal være en tensor, indføres yderligere korrektionstermer. Disse udtryk er kendt som Christoffel-symboler .

Definition

Lad M være en jævn manifold og angiv rummet af vektorfelter på M . Så er den affine forbindelse på M den bilineære kortlægning $C^\infty(M,TM)$

\begin{matrix} C^\infty(M,TM)\ gange C^\infty(M,TM) & \rightarrow & C^\infty(M,TM)\\ (X,Y) & \mapsto & \ nabla_X Y, \end{matrix}

sådan at for enhver glat funktion f ∈ C ∞ ( M , R ) og eventuelle vektorfelter X , Y på M :

$\nabla_{fX}Y = f\nabla_X Y$ , altså lineær i det første argument; $\nabla$
$\nabla_X (fY) = \mathrm df(X)Y + f\nabla_XY$ , det vil sige, at den opfylder Leibniz-reglen med hensyn til den anden variabel. $\nabla$

Relaterede definitioner

Vridningen af en affin forbindelse er udtrykket $\nabla$

T^{\nabla }(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y],

hvor angiver Lie-parentesen af vektorfelter.

[{*},{*}]

En affin forbindelse med nul torsion på en Riemann-manifold, med hensyn til hvilken den metriske tensor er kovariant konstant , kaldes en Levi-Civita-forbindelse . $(\nabla g=0)$
Krumningen af en affin forbindelse(eller Riemannsk krumning) er tensoren $\nabla$ $R^{\nabla }(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X ,Y]}Z.$
En affin forbindelse med nul krumning kaldes euklidisk .

Litteratur

Originale værker

Christoffel, Elwin Bruno (1869), Über die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades, J. Für die Reine und Angew. Matematik. T. 70: 46–70
Levi-Civita, Tullio (1917), Nozione di parallelismo in una varietà qualunque e conseguente specificazione geometrica della curvatura Riemanniana , Rend. Circ. Måtte. Palermo T. 42: 173-205 , DOI 10.1007/bf03014898
Cartan, Élie (1923), Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure T. 40: 325–412 , < http://www.numdam .org/item?id=ASENS_1923_3_40__325_0 > Arkiveret 11. april 2014 på Wayback Machine
Cartan, Élie (1924), Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie) (Suite) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure T. 41: 1–25 , < http:// www.numdam.org/item?id=ASENS_1924_3_41__1_0 > Arkiveret 11. april 2014 på Wayback Machine

I dette arbejde er tilgangen til studiet af affin forbindelse motiveret af studiet af relativitetsteorien. Indeholder en detaljeret diskussion af referencerammer og hvordan tilslutning afspejler den fysiske forestilling om bevægelse langs en verdenslinje .

Cartan, Élie (1926), Espaces à connexion affine, projective et conforme , Acta Math. T. 48: 1–42 , DOI 10.1007/BF02629755

I dette arbejde anvendes en mere matematisk tilgang til studiet af affin forbindelse.

Cartan, Élie (1951), med bilag af Robert Hermann, red., Geometry of Riemannian Spaces (oversættelse af James Glazebrook fra Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann , 2. udgave), Math Sci Press, Massachusetts, 1983, ISBN 978 -0-915692-34-7 , < https://books.google.com/?id=-YvvVfQ7xz4C&pg=PP1 > .

Den affine forbindelse betragtes ud fra et riemannsk geometris synspunkt . Et appendiks skrevet af Robert Herman Arkiveret 13. juni 2015 på Wayback Machine diskuterer motivation fra et overfladeteoretisk perspektiv, såvel som forestillingen om en affin forbindelse i moderne forstand og de grundlæggende egenskaber ved en kovariant afledt .

Weyl, Hermann (1918), Raum, Zeit, Materie (5 oplag til 1922, med noter af Jürgen Ehlers (1980), oversat 4. udgave Space, Time, Matter af Henry Brose, 1922 (Methuen, genoptrykt 1952 af Dover) udg. ), Springer, Berlin, ISBN 0-486-60267-2

Moderne litteratur

Rashevsky PK Riemann geometri og tensoranalyse. - Enhver udgave.
Kobayashi Sh ., Nomizu K. Fundamentals of differential geometri. - Novokuznetsk: Novokuznetsk Institut for Fysik og Matematik. - T. 1. - 344 s. - ISBN 5-80323-180-0 .
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderne geometri. Metoder og anvendelser. — M.: Nauka, 1979.
Postnikov M. M. Glatte manifolds (Forelæsninger om geometri. Semester III) .

Affin forbindelse