Asymptotisk lighed

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 19. februar 2020; checks kræver 8 redigeringer .

Asymptotisk lighed (ækvivalens) i matematisk analyse er en ækvivalensrelation mellem funktioner defineret i et punkteret område af et punkt, hvilket betyder ligheden af funktioner nær dette punkt med en vilkårlig lille relativ fejl . Asymptotiske ligheder er meget brugt til at beregne grænser. Ofte kaldes asymptotisk ækvivalente funktioner blot ækvivalente, idet ordet asymptotisk udelades. Også ret almindeligt er udtrykket ækvivalent infinitesimal, som ikke er andet end et særligt tilfælde af asymptotisk ækvivalens for infinitesimale funktioner.

Motivation

Mange funktioner siges ofte at være nogenlunde ens eller opføre sig ens omkring et tidspunkt. Denne terminologi er imidlertid for vag, og hvis vi virkelig vil tale om den samme funktionsadfærd, skal dette defineres formelt.

Lad os definere følgende udtryk: Vi vil sige, at en funktion tilnærmer eller tilnærmer en funktion nær punktet , hvis vi for et vilkårligt lille tal kan tage et sådant kvarter, hvor disse funktioner ikke vil afvige mere end dette tal. På sprog: $g(x)$ $f(x)$ $x_{0}$ $\varepsilon ,\delta$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x\in (x_{0}-\delta ;x_{0})\cup (x_{0};x_{0}+\ delta ):|f(x)-g(x)|<\varepsilon

Det er ikke svært at se, at denne definition betyder, at grænsen for forskellen mellem funktioner er lig med nul, når vi nærmer os punktet . er intet andet end den absolutte fejl ved en funktions tilnærmelse af en funktion . Når vi definerer en funktion, der tilnærmer sig ved et punkt, kræver vi, at den absolutte fejl kan gøres vilkårligt lille. I dette tilfælde vil den relative fejl ikke nødvendigvis være lille. Et simpelt eksempel: en funktion tilnærmer en funktion på et punkt, da de har samme grænse. Men den relative fejl i denne tilnærmelse på alle punkter undtagen . $x_{0}$ $|f(x)-g(x)|$ $f(x)$ $g(x)$ $-x$ $x$ $0$ $0$ $200\%$

I stedet for betingelsen om lillehed af den absolutte fejl, kan man kræve, at den relative fejl er lille. Funktioner med en sådan tilstand kaldes asymptotisk ækvivalente [1] . Den relative fejl (for ikke-nul i nogle punkteret kvarter af punktet ) af funktionerne og beregnes af formlen . Den asymptotiske ækvivalensbetingelse formuleres derefter som følger: $f(x)$ $x_{0}$ $f(x)$ $g(x)$ $\left|{\frac {f(x)-g(x)}{f(x)))\right|$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x\in (x_{0}-\delta ;x_{0})\cup (x_{0};x_{0}+\ delta ):\venstre|{\frac {f(x)-g(x)}{f(x)}}\right|<\varepsilon

Dette svarer tydeligvis til tilstanden , som oftest tages som definitionen af asymptotisk ækvivalens. $\lim _{x\to x_{0}}{\frac {g(x)}{f(x)))=1$

Definition

Klassisk definition

Lad og være defineret i et eller andet punkteret kvarter af punktet ( det kan også være uendeligt, både med et bestemt fortegn og uden fortegn) og ikke lig i et punkteret kvarter. Funktioner og kaldes asymptotisk ens for hvis: $f(x)$ $g(x)$ $x_{0}$ $x_{0}$ $g(x)$ $0$ $f(x)$ $g(x)$ ${\displaystyle x\to x_{0))$

\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)))=1

Basisækvivalens

Selvfølgelig kan asymptotisk lighed betragtes ikke kun for den simple tendens af et argument til en vis værdi. Det er muligt at overveje grænsen over andre baser: når argumentet tenderer til højre, fra venstre, over en delmængde og generelt over enhver base. Derfor giver det mening at definere en asymptotisk ækvivalens for enhver base . Lad og være defineret på et element af basen og ikke ens på et element af basen. Fungerer og kaldes asymptotisk lig i base, hvis: [2] ${\mathfrak {B}}$ $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $g(x)$ $0$ $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$

\lim _{\mathfrak {B}}{\frac {f(x)}{g(x)))=1

Generel sag

Begrebet asymptotisk lighed kan også generaliseres til det tilfælde, hvor betingelsen om ulighed til nul ikke er opfyldt i noget kvarter. Lad og være defineret på nogle element af basen . Funktioner og kaldes asymptotisk lig i grundtal, hvis funktionen kan repræsenteres som , hvor [3] . $g(x)$ $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $f(x)$ $f(x)=\varepsilon (x)g(x)$ $\lim _{\mathfrak {B}}\varepsilon (x)=1$

Gennem o-small

En tilsvarende definition af asymptotisk lighed kan gives ved at bruge begrebet o-lille. Lad og være defineret på et element af basen og ikke ens på et element af basen. Funktioner og siges at være asymptotisk lig i base , hvis funktionen kan repræsenteres som , hvor er o-lille af i base . $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $g(x)$ $0$ $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $f(x)$ $f(x)=g(x)+o(f(x))$ $o(f(x))$ $f(x)$ ${\mathfrak {B}}$

Gennem det uendelige

For det generelle tilfælde kan ovenstående definition i form af o-small formuleres ved hjælp af begrebet infinitesimal. Lad og være defineret på nogle element af basen . Funktioner og kaldes asymptotisk ens i base , hvis funktionen kan repræsenteres som , hvor er en infinitesimal i grundtal [3] . $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $f(x)$ $g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $f(x)$ $f(x)=g(x)+o(1)f(x)$ $o(1)$ ${\mathfrak {B}}$

Tilden bruges til at betegne en asymptotisk lighed : . $f(x)\sim g(x)$

Ækvivalensrelation

Asymptotisk lighed med hensyn til en eller anden base i fuld forstand er en ækvivalensrelation på det sæt funktioner, der er defineret på et eller andet element i basen, det vil sige, det er refleksivt , symmetrisk og transitivt . Derfor kan sættet af sådanne funktioner opdeles i ækvivalensklasser.

Alle to funktioner, der har den samme endelige ikke-nul grænse, er ækvivalente med hinanden. På den anden side medfører ækvivalensen af en funktion af en eller anden funktion med en endelig grænse, der ikke er nul, automatisk ligheden af deres grænse. Således danner sættet af funktioner med den samme ikke-nul endelige grænse en ækvivalensklasse.

Sådan er det slet ikke med uendeligt små, uendeligt store og grænseløse funktioner. Det er disse ækvivalenser, der er af interesse. Ækvivalensen af to funktioner indebærer ligheden af deres grænser (eller deres ikke-eksistens), så vi kan separat betragte ækvivalensklasserne for uendeligt store og uendeligt små funktioner [3] .

Eksempler

Polynomiet at svarer til dets ikke-nul-led med den højeste grad og ved med den laveste. $x\til \infty$ $x\to 0$

a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}\sim a_{n}x^{n }

på

x\to \infty ,a_{n}\neq 0

a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{m+1}x^{m+1}+a_{m}x ^{m}\sim a_{m}x^{m}

på

x\to 0,a_{m}\neq 0

Ved beregning af grænser giver mange lærebøger ofte ækvivalenstabeller for nogle elementære funktioner:

Tilsvarende infinitesimal kl

x\to 0

Funktion 1	Funktion 2
$\sin x$	$x$
$\operatørnavn {tg}x$	$x$
$\arcsin x$	$x$
$\operatørnavn{arctg}x$	$x$
$1-\cos x$	${\frac {x^{2}}{2}}$
$e^{x}-1$	$x$
$\ln(1+x)$	$x$
$(1+x)^{\alpha }-1$	$\alpha x$
$\operatørnavn {sh} x$	$x$
$\operatørnavn {th} x$	$x$
$\operatørnavn {arsh} x$	$x$
$\operatørnavn {arth} x$	$x$
$\operatørnavn {ch} x-1$	${\frac {x^{2}}{2}}$

Ganske berømt er Stirling-formlen , som tilnærmer faktorialet med en kontinuerlig funktion:

n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}

på

n\til\infty

Asymptotika er nyttige til at estimere kombinatoriske mængder med tilstrækkeligt store parametre. For eksempel, ved at erstatte Stirling-formlen i den eksplicitte formel til beregning af den binomiale koefficient , kan man opnå, at:

{\binom {2n}{n}}\sim {\sqrt {\frac {1}{\pi n}}}2^{2n}

på

n\til\infty

Antallet af primtal mindre end et givet tal har også en simpel asymptotisk tilnærmelse :

{\displaystyle \pi (n)\sim {\frac {n}{\ln {n))))

kl ,

n\til\infty

hvor er antallet af primtal mindre end $\pin)$ $n$

Egenskaber

Den relative fejl har en tendens til nul. Hvis for basen , så har den relative fejl for denne base en tendens til nul. Denne egenskab fører generelt til definitionen af asymptotisk lighed. Bemærk, at den absolutte fejl ikke behøver at vende mod nul. Eksempel: at , men deres absolutte fejl er konstant og lig med . $f(x)\sim g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $x\sim x+1$ $x\til \infty$ $en$
Erstatning for en tilsvarende i grænsen. Hvis i base , så i den forstand, at grænserne enten er ens eller begge eksisterer ikke. $f(x)\sim g(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $\lim _{\mathfrak {B}}f(x)=\lim _{\mathfrak {B}}g(x)$

Denne egenskab giver dig mulighed for at erstatte udtrykket under grænsetegnet med et tilsvarende. Det er på det, at teknikken til at beregne grænser ved hjælp af ækvivalenser er baseret.

Algebraiske operationer på ækvivalenser. Lad videre , , over bunden . Derefter $f(x)\sim f_{1}(x)$ $g(x)\sim g_{1}(x)$ $m\in \mathbb {N}$ ${\mathfrak {B}}$

f(x)g(x)\sim f_{1}(x)g_{1}(x)

ved base .

{\mathfrak {B}}

{\frac {f(x)}{g(x)}}\sim {\frac {f_{1}(x)}{g_{1}(x)))

ved base .

{\mathfrak {B}}

{\displaystyle (f(x))^{m}\sim (f_{1}(x))^{m))

ved base .

{\mathfrak {B}}

Alle ligheder her i betydningen grænser er enten lige, eller begge findes ikke. Den sidste egenskab kan generaliseres til tilfældet med en brøkgrad, men da negative tal ikke kan hæves til en ikke-heltalspotens, er det nødvendigt først at kontrollere, om de endelige funktioner vil blive defineret på et hvilket som helst element i basen. For aritmetiske rødder af en ulige grad kan egenskaben anvendes uden yderligere kontrol.

Disse egenskaber er meget brugt i praksis til at beregne grænsen. Eksempel:

\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x(e^{x}-1)}{(\ln(x+1))^{2}\cdot e^{x- 1}}}=\lim _{x\til 0}{\frac {x\cdot x}{x^{2}\cdot e^{-1}}}=e

Bemærk, at der ikke er nogen analog egenskab for en sum: summen af ækvivalenter behøver ikke være ækvivalent med summen.

Repræsentation gennem o-small. $f(x)\sim g(x)\venstrepil f(x)=g(x)+o(f(x))=g(x)+f(x)o(1)$

Da dette er en alternativ definition af ækvivalens, kan den også bruges omvendt. For eksempel: ved , fordi . Dette giver os mulighed for at slippe af med små termer i ækvivalenser. Eksempel:

x+\ln x\sim x

x\til +\infty

\ln x=o(x)

\lim _{x\to +\infty }(e^{x}-x^{1}0-lnx)=\lim _{x\to +\infty}e^{x}=+\ infty

Denne fremadrettede egenskab bruges ofte i kombination med følgende:

o-small er o-small af det tilsvarende. $f(x)\sim g(x)\Højrepil o(f(x))=o(g(x))$

På trods af at summen ikke kan erstattes af tilsvarende, kan du bruge de to sidste egenskaber:

\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x+\ln(x+1)}{e^{x}-1+\operatørnavn {arctg} {x}}}=\lim _ {x\til 0}{\frac {x+o(\sin x)+x+o(\ln(x+1))}{x+o(e^{x}-1)+o(\operatørnavn {arctg} {x})}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2x+o(x)}{2x+o(x)}}=\lim _{x\to 0}{ \dfrac {2x+o(1)x}{2x+o(1)x}}=\lim _{x\to 0}{\dfrac {2+o(1)}{2+o(1)} }={\frac {2}{2}}=1

Hvis funktionerne er ækvivalente med hensyn til en eller anden base, så er de ækvivalente med hensyn til enhver stærkere base . Eksempel: for , hvilket betyder, at de svarer til . $\sin x\sim x$ $x\to 0$ $x\to 0+$

Sætningen om ækvivalens af komplekse funktioner har ligesom sætningen om grænsen for en kompleks funktion en kompliceret formulering. Vi formulerer 3 versioner af denne sætning:

Ækvivalens af komplekse funktioner.
- Til kontinuerlige funktioner. Lad for , og være kontinuerlig på punktet , . Så på basen . $f(x)\sim g(x)$ ${\displaystyle x\to x_{0))$ $f(x)$ $g(x)$ $x_{0}$ $\lim _{\mathfrak {B}}h(x)=x_{0}$ $f(h(x))\sim g(h(x))$ ${\mathfrak {B}}$

Udgaven af sætningen for kontinuerte funktioner dækker dog de fleste af de eksempler, man støder på i praksis. For eksempel: kl . Diskontinuerlige funktioner kræver en ekstra betingelse.

\sin {\dfrac {1}{x}}\sim {\dfrac {1}{x}}

x\til \infty

Til diskontinuerlige funktioner. Lad for , , på et element af basen, ingen steder tage værdien . Så på basen . $f(x)\sim g(x)$ ${\displaystyle x\to x_{0))$ $\lim _{\mathfrak {B}}h(x)=x_{0}$ $h(x)$ $x_{0}$ $f(h(x))\sim g(h(x))$ ${\mathfrak {B}}$

Begge disse egenskaber er en konsekvens af den generelle sætning for grænser over en vilkårlig base.

Til en vilkårlig base. Lad af , være defineret på et eller andet basiselement, og for et hvilket som helst basiselement findes der et basiselement , således at . Så på basen . $f(x)\sim g(x)$ ${\mathfrak {D}}$ $h(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $d$ ${\mathfrak {D}}$ $b$ ${\mathfrak {B}}$ $h(b)\subseteq d$ $f(h(x))\sim g(h(x))$ ${\mathfrak {B}}$

Lad og vær positiv til et eller andet element i basen. hvis og kun hvis . $f(x)$ $g(x)$ $f(x)\sim g(x)$ $\ln {f(x)}=\ln {g(x)}+o(1)$
Hvis , og , så . $f(x)\sim g(x)$ $c=\operatørnavn {konst} {}$ ${\displaystyle A(x)=(c+o(1))^{f(x)))$ ${\displaystyle A(x)=(c+o(1))^{g(x)))$
Serieækvivalens . Ifølge Stolz' teorem , for to uendelige rækker:

\sum \limits _{n=0}^{\infty }{a_{n))

og ,

\sum \limits _{n=0}^{\infty }{b_{n))

hvis og række:

\forall n:\ b_{n}>0

\sum \limits _{n=0}^{\infty }{b_{n))

afviger, følger det, at:

a_{n}\sim b_{n}

\sum \limits _{k=0}^{n}{a_{k}}\sim \sum \limits _{k=0}^{n}{b_{k}}

Bestil

Ligner i betydningen til asymptotisk lighed, men mindre streng, er tilstedeværelsen af den samme rækkefølge af funktioner . Funktionerne og siges at have samme rækkefølge, hvis . I dette tilfælde bruges notationen eller . Hvis disse funktioner er uendeligt små, kaldes rækkefølgen sædvanligvis småhedsrækkefølgen, og hvis uendelig stor, så rækkefølgen af vækst. $f(x)$ $g(x)$ $\exists a,A:\ \exists X:\ \forall x>X:ag(x)\leqslant f(x)\leqslant Ag(x)$ $f(x)=\Theta (g(x))$ $f(x)\in \Theta (g(x))$

Samtidig er eksistensen af en konstant sådan, at . Som et eksempel er det tilstrækkeligt at bemærke, at , da der imidlertid ikke er en sådan konstant , at . $c$ $cf(x)\sim g(x)$ $x(1+|\sin {x}|)=\Theta (x)$ $x\leqslant x(1+|\sin {x}|)\leqslant 2x$ $c$ $x(1+|\sin {x}|)\sim cx$

Noter

↑ Kudryavtsev, 2003 , s. 264.
↑ Arkhipov, 2004 , s. 73.
↑ 1 2 3 encyklopædi af matematik .

Litteratur

Kudryavtsev L. D. Kursus i matematisk analyse. I 3 bind. Bind 1 . - M . : Bustard, 2003. - 704 s. (Russisk)
Arkhipov, G. I. Forelæsninger om matematisk analyse: lærebog. for universiteter / G. I. Arkhipov , V. A. Sadovnichiy , V. N. Chubarikov ; udg. V. A. Sadovnichy. - 5. udg., Rev. - M . : Drofa, 2004. - 640 s. — (Klassisk universitetslærebog). — ISBN 5-7107-8900-3 .
Asymptotisk lighed . Encyclopedia of Mathematics . (ubestemt)