Algebra Temperley-Liba

Algebra Temperley - Lieb - algebra , ved hjælp af hvilken nogle transfermatricer er konstrueret. Opdaget af Neville Temperleyog Elliot Lieb . Algebra anvendes i statistisk mekanik , i teorien om integrerbare modeller, er relevant for knudeteori og fletningsgrupper , kvantegrupper og underfaktorer af von Neumann algebraer .

Definition

Lade være en kommutativ ring (oftest feltet af reelle tal ), hvor elementet er fast . Temperley-Lieb-algebraen kaldes - en algebra dannet af generatorer, der adlyder Jones - relationerne : $R$ $\delta \in R$ $TL_{n}(\delta )$ $R$ ${\displaystyle U_{1},U_{2},\ldots ,U_{n-1))$

$U_{i}^{2}=\delta U_{i}$ på $1\leq i\leq n-1$
$U_{i}U_{i+1}U_{i}=U_{i}$ på $1\leq i\leq n-2$
$U_{i}U_{i-1}U_{i}=U_{i}$ på $2\leq i\leq n-1$
$U_{i}U_{j}=U_{j}U_{i}$ ved , sådan at $1\leq i,j\leq n-1$ $|ij|\neq 1$

$TL_{n}(\delta )$ kan repræsenteres som et vektorrum , med basisvektorer, som hver er et diagram i form af et kvadrat, på to modstående sider, hvoraf der er punkter. Punkterne danner n par, hvert par er forbundet med en kurve, og ingen to kurver skærer hinanden. De fem basisvektorer ser således ud: $n$ $TL_{3}(\delta)$

Multiplikationen af to grundelementer sker ved at forbinde to kvadrater kold-til-rumpe, efter hver resulterende cyklus giver en faktor δ . For eksempel,

× = = δ .

Enhedselementet er et diagram med n vandrette linjer, og generatoren er et diagram, hvor det i -te toppunkt er forbundet med i + 1 -th, 2n - i + 1 -th punkt - til 2n - i -th punkt, og alle andre punkter er forbundet med modsætninger. For eksempel er generatorer : $U_{i}$ $TL_{5}(\delta )$

Fra venstre mod højre: identisk element (én) og generatorer U 1 , U 2 , U 3 , U 4 .

Jones-forholdet kan repræsenteres grafisk:

= δ

Algebra Temperley-Liba

Definition

Links