Aksiom for tælleligt valg

Aksiomet for tælleligt valg er et aksiom for mængdeteori , normalt betegnet . Aksiomet siger, at for enhver tællig familie af ikke-tomme mængder, er der en " valgfunktion ", der uddrager fra hvert sæt et og kun et af dets elementer. Med andre ord, for en sekvens af ikke-tomme mængder kan man konstruere en sekvens af deres repræsentanter , mens mængderne kan være uendelige og endda utallige [1] .

Aksiomets plads i matematik

Aksiomet for tælleligt valg er en begrænset version af det fulde valgaksiom ( ), i modsætning til sidstnævnte hævder det eksistensen af ​​en valgfunktion kun for en tællig familie af mængder. Som Paul Cohen beviste , er aksiomet for tælleligt valg uafhængigt af andre mængdeteoriens aksiomer (uden valgaksiomet) [2] . I modsætning til det fulde aksiom for valg, fører aksiomet om tælleligt valg ikke til boldens fordoblingsparadoks eller andre kontraintuitive konsekvenser.

Aksiomet for tælleligt valg er tilstrækkeligt til at retfærdiggøre de vigtigste analysesætninger . Det følger især [3] :

• for ethvert grænsepunkt eksisterer der en sekvens, der konvergerer til det;
• Lebesgue-målet er tælleligt additiv;
• hvert uendeligt sæt indeholder en tællig delmængde.

En væsentlig del af mængdeteoriens udsagn kan imidlertid ikke bevises ved hjælp af aksiomet om tælleligt valg. For eksempel, for at bevise, at hvert sæt kan være velordnet , kræves et komplet aksiom.

Der er en lidt stærkere version kaldet " aksiom for afhængigt valg " ( ). Aksiomet for tælleligt valg følger deraf såvel som af determinismens aksiom ( ).

Litteratur

• Aleksandrov PS Introduktion til mængdeteori og generel topologi. — M .: Nauka, 1977. — 368 s. — Kapitel 3, § 4.
• Kanovey VG Valgaksiomet og determinismens aksiom. — M .: Nauka, 1984. — 64 s. — (Videnskabelige og tekniske fremskridts problemer).
• Medvedev F. A. Tidlig historie om valgaksiomet . — M .: Nauka, 1982. — 304 s. Arkiveret 28. oktober 2015 på Wayback Machine
• Medvedev F. A. Valgets aksiom og matematisk analyse // Historisk og matematisk forskning . - M . : Nauka , 1980. - Nr. 25 . — S. 167-188 .
• Opslagsbog om matematisk logik. Del II. Mængdeori = Handbook of Mathematical Logic / J. Barweiss. - M .: Nauka , 1983. - 392 s.
• Herrlich, Horst. Valgprincipper i elementær topologi og analyse  (engelsk)  // Comment.Math.Univ.Carolinae. - 1997. - Bd. 38, nr. 3 . — S. 545.
• Potter, Michael. Sætteori og dens filosofi: En kritisk introduktion . - Oxford University Press, 2004. - ISBN 9780191556432 .  (Engelsk)

Noter

1. ↑ Kanovey V.G., 1984 , s. 9.
2. ↑ Potter, 2004 , s. 164.
3. ↑ Kanovey V.G., 1984 , s. 6, 9.