En abelsk varietet er en projektiv algebraisk varietet , som er en algebraisk gruppe (det betyder, at sammensætningsloven er givet af en regulær funktion ).
Abelske sorter er velstuderede objekter i algebraisk geometri. Dette koncept bruges i forskellige grene af algebraisk geometri og talteori.
En Abelsk sort kan defineres ved ligninger med koefficienter i ethvert felt k . De siger, at en sort er over en mark k . Historisk set blev Abelske varianter inden for komplekse tal undersøgt først.
Et særligt tilfælde er Abelske varianter over algebraiske talfelter . Denne case er vigtig i talteori.
Det kan bevises [1] at en abelsk sort er kommutativ som en gruppe, det vil sige, at den er en abelsk gruppe .
For Abelske varianter X, Y over feltet af komplekse tal er varietets isomorfi, hvorunder 1 X bliver til 1 Y , en gruppeisomorfi.
Et kriterium for, at en given kompleks torus er en abelsk sort, dvs. om et projektivt rum kan indlejres. Lad V være et vektorrum med dimension og L være et gitter i V . En torus X = V/L er kun en Abelsk variant, hvis der eksisterer en positiv-defineret hermitisk form på V , hvis imaginære del tager heltalsværdier på gitteret L × L .
Chevalleys sætning om algebraiske grupper : Enhver algebraisk gruppe G indeholder en normal undergruppe N , som er en affin varietet , således at kvotientgruppen G / N er en abelsk sort. (Undergruppen N med denne egenskab er unik.)
I tilfælde af dimension 1 svarer begrebet en abelsk sort til begrebet en elliptisk kurve .
For n > 1 er en abelsk varietet over feltet af komplekse tal , som et topologisk rum , homøomorf til en n-dimensionel kompleks torus (behandlet som en projektiv sort).
I begyndelsen af det nittende århundrede dannede teorien om elliptiske funktioner grundlaget for teorien om elliptiske integraler . Elliptiske integraler har kvadratrødder af 3. og 4. grads polynomier. Hvad vil der ske i tilfælde af højere grader? Abel og Jacobis værker betragtede funktioner af to komplekse variable. Dette var det første eksempel på en abelsk variant af dimension 2 (en abelsk overflade).