W-funktion af Lambert

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 7. marts 2020; checks kræver 7 redigeringer .

$W$ Lambert-funktionen er defineret som den omvendte funktion til , for kompleks . Benævnt eller . For ethvert kompleks bestemmes det af den funktionelle ligning : $f(w)=vi^{w}$ $w$ $B(x)$ $\operatørnavn {LambertW}(x)$ $z$

z=W(z)e^{{W(z)}}

$W$ Lambert-funktionen kan ikke udtrykkes i elementære funktioner . Det bruges i kombinatorik , for eksempel, når man tæller antallet af træer , såvel som ved løsning af ligninger.

Historie

Funktionen blev studeret i Leonhard Eulers arbejde i 1779 , men fik først en selvstændig betydning og navn i 1980'erne. Som en selvstændig funktion blev den introduceret i Maple computeralgebrasystemet , hvor navnet LambertW blev brugt til det . Navnet Johann Heinrich Lambert blev valgt, fordi Euler refererede til Lamberts arbejde i sit arbejde, og fordi "det ville være nytteløst at opkalde en anden funktion efter Euler" [1] .

Polysemi

Da funktionen ikke er injektiv på intervallet , er den en funktion med flere værdier på . Hvis vi begrænser os til virkelige og kræver , vil en funktion med en enkelt værdi blive defineret . $f(w)$ $(-\infty,0)$ $W(z)$ $(-{\frac {1}{e}},0)$ $z=x\geqslant -1/e$ $w\geqslant -1$ $W_{0}(x)$

Asymptotik

Det er nyttigt at kende funktionens asymptotik, når den nærmer sig visse nøglepunkter. For eksempel for at fremskynde konvergens, når du udfører rekursive beregninger.

$\left.W(z)\right|_{{z\to \infty }}=\log(z)-\log(\log(z))$

$\left.W(z)\right|_{{z\to -{\frac {1}{e))))={\sqrt {2(ez+1)))-1$

Andre formler

\int _{{0}}^{{\pi }}W{\bigl (}2\cot ^{2}(x){\bigr )}\sek ^{2}(x)\;{\mathrm d}x=4{\sqrt {\pi ))

\int _{{0}}^{{+\infty }}W\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)\;{\mathrm d}x={\sqrt { 2\pi }}

\int _{{0}}^{{+\infty }}{\frac {W(x)}{x{\sqrt {x}}}}{\mathrm d}x=2{\sqrt {2\ pi}}

Egenskaber

Ved at differentiere den implicitte funktion kan det opnås, at for Lambert-funktionen opfylder følgende differentialligning: $z\neq -{\tfrac {1}{e}}$

{dW \over dz}={\frac {1}{z}}{\frac {W(z)}{W(z)+1}}.

Ved hjælp af serieinversionssætningen kan man få et udtryk for Taylor-rækken ; den konvergerer i nærheden af nul for : $|z|<{\tfrac {1}{e}}$

W_{0}(x)=\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {(-n)^{{n-1}}}{n!}}\ x^{n }=xx^{2}+{\frac {3}{2}}x^{3}-{\frac {8}{3}}x^{4}+{\frac {125}{24}} x^{5}-\cdots .

Ved at bruge integration af dele kan vi finde integralet af W(z):

\int W(x)\,dx=x\venstre(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\højre)+C.

Værdier på nogle punkter

W\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {i\pi }{2}}

W(-1)\approx -0.31813+1.33723i

W\left(-{1 \over e}\right)=-1

W\left(-{\frac {\ln a}{a))\right)=-\ln a

, kl

{\frac {1}{e}}\leq a\leq e

W(0)=0

W(e)=1

W(1)=\Omega \approx 0{,}56714329

( Konstant Omega )

Formler

$W(xe^{x})=x,\,x>0$

${\displaystyle e^{n\cdot W(x)}=\venstre({\frac {x}{W(x)))\right)^{n))$

$\ln W(x)=\ln xB(x),\,x>0$

$W\left({\frac {nx^{n}}{W(x)^{n-1}}}\right)=nW(x),\,n>0,x>0$

$W(x)+W(y)=W\venstre(xy\venstre({\frac {W(x)+W(y)}{W(x)W(y)))\right)\ højre),\,x>0,y>0$

Løsning af ligninger med W-funktionen

Løsninger til mange transcendentale ligninger kan udtrykkes i form af en W-funktion.

Eksempel: $x^{x}=z$

\ln z=x\ln x=e^{{\ln x}}\,\ln x

derfor, .

x=e^{{W(\ln z)}}

Eksempel: $2^{x}=5x$

1=5x\cdot 2^{{-x}}=5x\,e^{{-x\ln 2}}

Betegn altså , derfor og til sidst . $y=-x\ln 2$ $y\,e^{y}={-\ln 2 \over 5}$ $y=W\venstre({-\ln 2 \over 5}\højre)$ $x=-{1 \over \ln 2}W\venstre({-\ln 2 \over 5}\højre)$

Generaliserede applikationer af Lambert W-funktionen

Standard Lambert W-funktionen viser nøjagtige løsninger til transcendentale algebraiske ligninger af formen:

e^{{-cx}}=a_{o}(xr)~~\quad \qquad \qquad \qquad \qquad (1)

hvor a 0 , c og r er reelle konstanter. Løsningen på en sådan ligning er . Følgende er nogle af de generaliserede anvendelser af Lambert W-funktionen: [2] [3] [4] ${\displaystyle x=r+{\frac {1}{c}}W{\Big (}{\frac {c\,e^{-cr}}{a_{o}}}{\Big )))$

Denne funktion kan bruges i generel relativitetsteori og i kvantemekanik ( kvantetyngdekraft ) i lavere dimensioner. Tidsskriftet Classical and Quantum Gravity [5] præsenterede en hidtil ukendt sammenhæng mellem disse to begreber, hvor højre side af ligningen bliver til et kvadratisk polynomium i x - variablen :

e^{{-cx}}=a_{o}(x-r_{1})(x-r_{2})~~\qquad \qquad (2)

og hvor konstanterne r 1 og r 2 er rødderne til dette kvadratiske polynomium. I dette tilfælde er løsningen til denne ligning en funktion med et argument x , og r i og a o er parametrene for denne funktion. Fra dette synspunkt, selvom denne generaliserede anvendelse af Lambert W-funktionen ligner den hypergeometriske funktion og "Meijer G"-funktionen, tilhører den en anden type funktion. Når r 1 = r 2 , så kan begge sider af ligning (2) simplificeres til ligning (1), og dermed simplificeres den samlede løsning til standard W-funktionen. Ligning (2) viser de konstitutive relationer i dilaton skalarfeltet , hvorfra der følger løsningen af problemet med at måle den lineære tyngdekraft af parrede legemer i 1 + 1 dimensioner (rum- og tidsmålinger) i tilfælde af ulige masser. som løsning på problemet med den todimensionelle stationære Schrödinger-ligning med et potentiale i form af Dirac delta-funktionen for ulige ladninger i én dimension.

Denne funktion kan bruges til at løse et særligt problem med kvantemekanikkens indre energier, som består i at bestemme den relative bevægelse af tre legemer, nemlig en tredimensionel molekylær brintion [6] [7] . I dette tilfælde bliver højre side af ligning (1) (eller (2)) nu forholdet mellem to uendelige polynomier i variablen x :

e^{{-cx}}=a_{o}{\frac {\displaystyle \prod _{{i=1}}^({\infty }}(x-r_{i})}{\displaystyle \prod _{{i=1}}^{{\infty }}(x-s_{i})}}\qquad \qquad \qquad (3)

hvor r i og s i er konstanter, og x er en funktion mellem den indre energi og afstanden inde i kernen R. Ligning (3), såvel som dens forenklede former udtrykt i ligning (1) og (2), er af typen af differentialligninger med forsinkelse.

Anvendelser af Lambert W-funktionen i grundlæggende fysikproblemer er ikke begrænset til standardligningen (1), som det for nylig er blevet vist inden for atom-, molekylær- og optisk fysik [8] .

Beregning

$W$ -funktionen kan tilnærmelsesvis beregnes ved hjælp af gentagelsesrelationen [1] :

w_{{j+1}}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{{w_{j}}}-z}{e^{{w_{j}}}(w_{j }+1)-{\frac {(w_{j}+2)(w_{j}e^{{w_{j))}-z)}{2w_{j}+2))))

Et eksempelprogram i Python :

importere matematik def lambertW ( x , prec = 1e-12 ): w = 0 for i i området ( 100 ): wTimesExpW = w * math . exp ( w ) wPlusOneTimesExpW = ( w + 1 ) * matematik . exp ( w ) w -= ( wTimesExpW - x ) / ( wPlusOneTimesExpW - ( w + 2 ) * ( wTimesExpW - x ) / ( 2 * w + 2 )) if prec > abs (( x - wTimesExpW ) / wPlusOneTimesExpW ): break if prec <= abs (( x - wTimesExpW ) / wPlusOneTimesExpW ): raise Undtagelse ( "W(x) konvergerer ikke hurtigt nok til x= %f " % x ) returner w

For en omtrentlig udregning kan du bruge formlen [9] : !!!Ovenstående funktion ligner, men adskiller sig med mere end 10% fra Lambert-funktionen

W(x)\approx \left\{{\begin{matrix}0{,}665\cdot (1+0{,}0195\ln(x+1))\ln(x+1)+0{, }04&\ :\ &0<x\leq 500\\\ln(x-4)-(1-{1 \over \ln x})\ln \ln x&\ :\ &x>500\\\end{matrix }}\ret.