Q-afledt

Q - derivatet eller Jackson-derivatet er q -analogen til den almindelige afledte , som blev foreslået af Frank Hilton Jackson. Q - derivatet er det omvendte af Jacksons q -integration . Andre typer af q-derivater kan findes i artiklen af K.S. Changa, V.S. Changa, S.T. Nama og H.J. Cana [1] .

Definition

Q -afledet af en funktion f ( x ) er defineret som

\left({\frac {d}{dx}}\right)_{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{qx-x}}.

og er ofte skrevet som . Q- derivatet er også kendt som Jackson-derivatet . $D_{q}f(x)$

Formelt set, hvad angår Lagrange -skiftoperatoren i logaritmiske variable, svarer dette til operatoren

D_{q}={\frac {1}{x}}~{\frac {q^{d~~~ \over d(\ln x)}-1}{q-1}}~,

hvilket fører til den sædvanlige afledte, → d ⁄ dx som q → 1.

Operatøren er tydeligvis lineær,

\displaystyle D_{q}(f(x)+g(x))=D_{q}f(x)+D_{q}g(x)~.

Q -derivatet har en produktregel svarende til den almindelige afledte produktregel i to ækvivalente former

\displaystyle D_{q}(f(x)g(x))=g(x)D_{q}f(x)+f(qx)D_{q}g(x)=g(qx) D_{q}f(x)+f(x)D_{q}g(x).

På samme måde opfylder q - afledte reglen for division,

\displaystyle D_{q}(f(x)/g(x))={\frac {g(x)D_{q}f(x)-f(x)D_{q}g(x) }{g(qx)g(x)}},\quad g(x)g(qx)\neq 0.

Der er også en regel svarende til den sædvanlige differentieringsregel for superposition af funktioner. Lad . Derefter ${\displaystyle g(x)=cx^{k))$

\displaystyle D_{q}f(g(x))=D_{q^{k}}(f)(g(x))D_{q}(g)(x).

Egenfunktionen af q -afledten er q - eksponentialfunktionen e q ( x ).

Forholdet til almindelige afledte

Q -afledning ligner almindelig differentiering med mærkelige forskelle. For eksempel er q - afledte af et monomial

\left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}z^{n}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}z^{ n-1}=[n]_{q}z^{n-1}

hvor er q -parentesen af tallet n . Bemærk at , så den almindelige afledte returnerer i grænsen. ${\displaystyle [n]_{q))$ $\lim _{q\to 1}[n]_{q}=n$

For en funktion kan den n'te q - afledede gives som:

(D_{q}^{n}f)(0)={\frac {f^{(n)}(0)}{n!)}}{\frac {(q;q)_{ n }}{(1-q)^{n}}}={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}[n]_{q}!

forudsat at den sædvanlige n'te afledede af funktionen f eksisterer ved x = 0. Her er q -Pochhammer-symbolet og er q - faktoren . Hvis funktionen er analytisk, kan vi bruge Taylor-formlen til at bestemme ${\displaystyle (q;q)_{n))$ $[n]_{q}!$ $f(x)$ $D_{q}(f(x))$

\displaystyle D_{q}(f(x))=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(q-1)^{k}}{(k+1)! }}x^{k}f^{(k+1)}(x).

Q er en analog af Taylor-udvidelsen af funktionen nær nul:

f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }f^{(n)}(0)\,{\frac {z^{n}}{n!)}}= \ sum _{n=0}^{\infty }(D_{q}^{n}f)(0)\,{\frac {z^{n}}{[n]_{q}!}}

Se også

Afledt (matematik)
Inegral Jackson
Q eksponentiel funktion
Q-forskel polynomier
Kvanteregning
Tsallis entropi

Noter

↑ Chung, Chung, Nam, Kang, 1994 .

Litteratur

Jackson FH På q-funktioner og en vis forskel operator // Trans. Roy. soc. Edin.. - 1908. - T. 46 . - S. 253-281 .
Exton H. q-Hypergeometriske funktioner og applikationer. - New York, Chichester: Halstead Press; Ellis Horwood, 1983. - ISBN 0853124914 .
Victor Kac, Pokman Cheung. Kvanteregning. - Springer-Verlag, 2002. - (Universitex). — ISBN 0-387-95341-8 .
Chung KS, Chung WS, Nam ST, Kang HJ Ny q-afledt og q-logaritme // International Journal of Theoretical Physics. - 1994. - T. 33 . — S. 2019-2029 .

Læsning for yderligere læsning

J. Koekoek, R. Koekoek, A note on the q-derivative operator , (1999) ArXiv math/9908140
Thomas Ernst, The History of q-Calculus og en ny metode , (2001),