Jackson integral

Jackson-integralet i teorien om specielle funktioner afspejler den omvendte drift af q-afledning .

Jackson-integralet blev introduceret af Frank Hilton Jackson.

Definition

Lade være en funktion af en reel variabel . Jackson-integralet for er defineret som følgende serie: $f(x)$ $x$ $f$

\int f(x)\,{\rm {d}}_{q}x=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k} f(q^{k}x).

Hvis det er en anden funktion og betyder dens -afledte, kan den formelt skrives: $g(x)$ $D_{q}g$ $q$

\int f(x)\,D_{q}g\,{\rm {d}}_{q}x=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{\ infty }q^{k}f(q^{k}x)\,D_{q}g(q^{k}x)=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{ \infty }q^{k}f(q^{k}x){\tfrac {g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)}{(1-q)q ^{k}x}},

eller:

\int f(x)\,{\rm {d}}_{q}g(x)=\sum _{k=0}^{\infty }f(q^{k}x)\ cdot (g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)),

Resultatet er en -analog af Riemann-Stieltjes-integralet . $q$

Jackson-integralet som en q-afledt

Ligesom den sædvanlige antiafledning af en kontinuert kortlægning kan repræsenteres af det Riemannske integral , så giver Jackson-integralet en unik q -antiafledning for nogle klasse af funktioner (se artikler af Kempf og Majid [1] ).

Sætning

Hvis vi antager, at og hvis værdien er afgrænset på intervallet for nogle , så konvergerer Jackson-integralet til en funktion på , som er q -afledet af . Desuden er kontinuert på c og er en antiafledt funktion i denne klasse af funktioner [2] . $0<q<1$ $|f(x)x^{\alpha }|$ $[0,A)$ $0\leqslant \alpha <1,$ $F(x)$ $[0,A)$ $f(x)$ $F(x)$ $x=0$ $F(0)=0$ $f(x)$

Noter

↑ Kempf, Majid, 1994 , s. 6802.
↑ Kac, Cheung, 2002 , s. Sætning 19.1.

Litteratur

Victor Kac, Pokman Cheung. Kvanteregning. - Springer-Verlag, 2002. - (Universitex). — ISBN 0-387-95341-8 .
Jackson FH En generalisering af funktionerne Γ(n) og x n // Proc. R. Soc. - 1904. - T. 74 . — S. 64–72 .
Jackson FH På q-bestemte integraler // QJ Pure Appl. Math.. - 1910. - T. 41 . — S. 193–203 .
Algebraisk q-integration og Fourierteori om kvante- og flettede rum // J. Math. Phys.. - 1994. - Udgave. 35 . - S. 6802 . - doi : 10.1063/1.530644 .
Kempf A., Majid S. Algebraisk q-integration og Fourier-teori om kvante- og flettede rum, arxiv version . Hentet: 24. april 2015. (ubestemt)