Toponogovs sammenligningssætning

Toponogovs sammenligningssætning er en klassisk sætning for Riemannsk geometri generelt.

I det todimensionelle tilfælde blev sætningen bevist af Paolo Pizzetti [1] . Hans arbejde gik ubemærket hen i et århundrede. [2] Sætningen blev uafhængigt irettesat af Aleksandr Danilovich Aleksandrov [3] og generaliseret af Viktor Andreevich Toponogov [4] til højere dimensioner.

Nødvendige definitioner

For at formulere sætningen har vi brug for et par definitioner. Lad være en komplet Riemannmanifold af mindst 2 dimensioner og med tværsnitskrumning ikke mindre end en konstant . $M$ $\kappa$

Angiv med modellens krumningsplan . Ved , Dette er det euklidiske plan, ved , er isometrisk til overfladen af en kugle med radius , og ved , er Lobachevsky - krumningsplanet . ${\mathbb {M}}_{\kappa }$ $\kappa$ $\kappa=0$ $\kappa >0$ ${\mathbb {M}}_{\kappa }$ ${\tfrac 1{{\sqrt {\kappa ))))$ $\kappa<0$ ${\mathbb {M}}_{\kappa }$ $\kappa$

En trekant i er en tredobbelt af korteste stier, der forbinder tre punkter i par. I dette tilfælde kaldes hvert af de tre punkter trekantens toppunkt , og vinklen mellem parret af korteste punkter, der udgår fra toppunktet, kaldes vinklen ved dette toppunkt. $M$

Lad der være en trekant i . Antag, at der eksisterer en trekant med ens tilsvarende sider, og desuden er en sådan trekant unik op til kongruens. I dette tilfælde kaldes trekanten for trekantens modeltrekant i trekanten i . $\trekant$ $M$ ${\mathbb {M}}_{\kappa }$ ${\tilde \triangle }_{\kappa }$ ${\tilde \triangle }_{\kappa }$ ${\tilde \triangle }_{\kappa }$ $\trekant$ $M$

Bemærk, at modeltrekanten altid er defineret, hvis . I tilfælde af, at dette er sandt, hvis omkredsen er strengt mindre end . ${\tilde \triangle }_{\kappa }$ $\kappa \leq 0$ $\kappa >0$ $\trekant$ $2\cdot \pi /{\sqrt {\kappa ))$

Lad i være en model trekant i . Lad os definere modelvinklen som et vinkelmål . $\triangle {\tilde x}{\tilde y}{\tilde z}$ ${\mathbb {M}}_{\kappa }$ $\trekant xyz$ $M$ ${\tilde \measuredangle }_{\kappa }xyz$ $\measuredangle {\tilde x}{\tilde y}{\tilde z}$

Ordlyd

Sætning. Lad være en komplet Riemann-manifold og med sektionskrumning ikke mindre end en konstant . Så er vinklerne for enhver trekant i M ikke mindre end de tilsvarende vinkler i dens modeltrekant . Med andre ord $M$ $\kappa$ $\trekant$ ${\tilde \triangle }_{\kappa }$

{\tilde \measuredangle }_{\kappa}xyz\leq \measuredangle xyz

for enhver trekant . $\trekant xyz$

Konsekvenser

Lad os antage , at det er en komplet Riemann-manifold med ikke-negativ sektionskrumning. Så for ethvert punkt er funktionen 2-konkav; det vil sige, for enhver normal geodætisk er funktionen konkav. $M$ $p\in M$ $f(x)=|px|_{M}^{2}$ $\gamma$ $t\mapsto f\circ \gamma (t)-t^{2}$

Variationer og generaliseringer

Den omvendte sætning er også sand, det vil sige, at hvis sammenligningen af vinkler er sand for enhver trekant i en Riemannmanifold, så har den mindst krumning . $M$ $M$ $\kappa$

For hvert punkt x på siden af trekanten angives med det tilsvarende punkt på siden . Så er påstanden af sætningen ækvivalent med følgende ulighed $\trekant$ ${\tilde x}$ ${\tilde \triangle }\kappa$ $|{\tilde x}-{\tilde y}|_{({\mathbb M}_{\kappa ))}\leq |xy|_{M}$

hvor angiver afstanden mellem punkter og i en Riemannmanifold .

|xy|_{M}

x

y

M

Påstanden af sætningen svarer til følgende ulighed ${\tilde \measuredangle }_{\kappa }xpy+{\tilde \measuredangle }_{\kappa }ypz+{\tilde \measuredangle }_{\kappa }zpx\leq 2\cdot \pi$

for vilkårlige fire point

p,x,y,z\i M

Se også

Rauchs sammenligningssætning

Litteratur

Gromol D., Klingenberg V., Meyer V., Riemannsk geometri generelt, Mir, 1971, s. 343.
Burago Yu.D., Zalgaller V.A. Introduktion til Riemannsk geometri. - St. Petersborg: Nauka, 1994. - ISBN 5-02-024606-9 .