ARIMA

ARIMA ( engelsk autoregressivt integreret glidende gennemsnit , nogle gange Box-Jenkins model, Box-Jenkins methodology ) er en integreret autoregressivt glidende gennemsnitsmodel - en model og metode til tidsserieanalyse . Det er en udvidelse af ARMA -modeller for ikke-stationære tidsserier, som kan gøres stationære ved at tage forskelle af en eller anden rækkefølge fra den oprindelige tidsserie (de såkaldte integrerede eller differensstationære tidsserier). Model betyder, at forskellene i ordretidsserierne følger modellen . $ARIMA(p,d,q)$ $d$ $ARMA(p,q)$

Formel definition af en model

Modellen for en ikke-stationær tidsserie har formen: $ARIMA(p,d,q)$ $X_{t}$

\triangle ^{d}X_{t}=c+\sum _{i=1}^{p}a_{i}\triangle ^{d}X_{ti}+\sum _{j=1} ^{q}b_{j}\varepsilon _{tj}+\varepsilon _{t}

hvor er en stationær tidsserie; $\varepsilon _{t}$

{\displaystyle c,a_{i},b_{j))

er modelparametre.

{\displaystyle \triangle ^{d))

— tidsserieforskeloperator af orden d (efterfølgende tager d gange af forskelle af første orden - først fra tidsserien, derefter fra de opnåede forskelle af første orden, derefter fra anden orden osv.)

Også denne model fortolkes som - en model med enhedsrødder . For , vi har de sædvanlige -modeller. $ARMA(p+d,q)$ $d$ $d=0$ $ARMA$

Operatørrepræsentation

Ved at bruge lagoperatoren kan modeldataene skrives som følger: $L:~Lx_{t}=x_{{t-1}}$

(1-L)^{d}X_{t}=c+(\sum _{i=1}^{p}a_{i}L^{i})(1-L)^{d} X_{t}+(1+\sum _{j=1}^{q}b_{j}L^{j})\varepsilon _{t}

eller kort sagt:

{\displaystyle a(L)(1-L)^{d}X_{t}=c+b(L)\varepsilon _{t))

hvor $a(L)=1-\sum _{i=1}^{p}a_{i}L^{i}$

{\displaystyle b(L)=1+\sum _{j=1}^{q}b_{j}L^{j))

Eksempel

Det enkleste eksempel på en ARIMA-model er den velkendte random walk-model:

{\displaystyle x_{t}=x_{t-1}+\varepsilon _{t}\Rightarrow \triangle x_{t}=(1-L)x_{t}=\varepsilon _{t))

Derfor er dette en model . $ARIMA(0,1,0)$

Integreret tidsserie

ARIMA-modeller giver dig mulighed for at modellere integrerede eller differensstationære tidsserier ( DS-serien , diference stationære).

En tidsserie kaldes en integreret orden (normalt skrevet ), hvis forskellene i rækkefølgen , dvs. er stationære, mens forskellene i en mindre orden (inklusive nulorden, dvs. selve tidsserien) ikke er stationære med respekt for nogle trendserier (TS-serien, trend stationær). Især er dette en stationær proces. $X_{t}$ $k$ $X_{t}\sim I(k)$ $k$ ${\displaystyle \triangle ^{k}x_{t))$ $jeg(0)$

Tidsseriens integrationsrækkefølge er modellens rækkefølge . $d$ $ARIMA(p,d,q)$

ARIMA (Box-Jenkins) metodologi

ARIMAs tilgang til tidsserier er, at seriens stationaritet evalueres først. Forskellige test afslører tilstedeværelsen af enhedsrødder og rækkefølgen af integration af tidsserien (normalt begrænset til første eller anden orden). Yderligere, hvis det er nødvendigt (hvis rækkefølgen af integration er større end nul), transformeres serien ved at tage forskellen i den tilsvarende rækkefølge, og allerede for den transformerede model er der bygget en eller anden ARMA-model, da det antages, at den resulterende proces er stationær, i modsætning til den oprindelige ikke-stationære proces (forskel-stationær eller integreret ordreproces ). $d$

ARFIMA-modeller

Teoretisk set er rækkefølgen af integration af tidsserien måske ikke en heltalsværdi, men en brøkværdi. I dette tilfælde taler man om fraktionelt integrerede autoregressive modeller - glidende gennemsnit (ARFIMA, AutoRegressive Fractional Integrated Moving Average). For at forstå essensen af fraktioneret integration er det nødvendigt at overveje udvidelsen af operatoren for at tage den -th forskel i en potensrække i potenser af lagoperatoren for fraktioneret ( Taylor-seriens ekspansion ): $d$ $d$ $d$

\triangle ^{d}=(1-L)^{d}=\sum _{k=0}^{\infty }\prod _{j=0}^{k-1}(dj) {\frac {(-1)^{k}}{k!}}L^{k}

Litteratur

Ayvazyan S.A. Anvendt statistik. Grundlæggende om økonometri. Bind 2. - M . : Unity-Dana, 2001. - 432 s. - ISBN 5-238-00305-6 .
Magnus Ya. R., Katyshev P. K., Peresetsky A. A. Econometrics. Indledende kursus. - M . : Delo, 2007. - 504 s. - ISBN 978-5-7749-0473-0 .
Økonometri. Lærebog / Red. Eliseeva I. I. - 2. udg. - M. : Finans og statistik, 2006. - 576 s. — ISBN 5-279-02786-3 .

Ordbøger og encyklopædier	stor kinesisk Britannica (online)