Excentricitet

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 15. december 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Excentricitet er en numerisk karakteristik af et keglesnit , der viser graden af dets afvigelse fra en cirkel . Normalt betegnet med eller . $e$ $\varepsilon$

Excentricitet er invariant under planbevægelser og lighedstransformationer .

Definition

Alle ikke-degenererede keglesnit, bortset fra cirklen , kan beskrives på følgende måde: vi vælger et punkt og en linje på planet og sætter et reelt tal ; så er stedet for punkter, for hvilke forholdet mellem afstandene til punktet og til linjen er lig med , et keglesnit; altså hvis der er en projektion på , så $F$ $d$ $e>0$ $M$ $F$ $d$ $e$ $M'$ $M$ $d$

FM=e\cdot MM'

Dette tal kaldes keglesnittets excentricitet . En cirkels excentricitet er per definition 0. $e$

Relaterede definitioner

Punktet kaldes fokus for keglesnittet. $F$
Den rette linje kaldes dirigeren . $d$

Keglesnit i polære koordinater

Keglesnittet, hvoraf et af brændpunkterne er placeret ved polen, er givet i polære koordinater af ligningen:

r={\frac {\ell }{1-e\cos \varphi }}

hvor er excentriciteten og er en anden konstant parameter (den såkaldte fokale parameter ). $e$ $\ell$

Det er let at vise, at denne ligning svarer til definitionen ovenfor. I det væsentlige kan det bruges som en alternativ definition af excentricitet, måske mindre fundamental, men praktisk set fra et analytisk og anvendt synspunkt; især viser den tydeligt excentricitetens rolle i klassificeringen af keglesnit og tydeliggør på en bestemt måde dens geometriske betydning yderligere.

Egenskaber

Afhængigt af excentriciteten vil det vise sig:
- når - hyperbole . Jo større hyperbelens excentricitet er, jo mere ligner dens to grene parallelle lige linjer; $e>1$
- når - parabel ; $e=1$
- når - ellipse ; $0\leq e<1$
- for en cirkel ,. $e=0$

Excentriciteten af ellipsen og hyperbelen er lig med forholdet mellem afstanden fra fokus til centrum til semi-hovedaksen. Denne egenskab tages nogle gange som definitionen af excentricitet. I tidligere tider (f.eks. i 1787 [1] ) delte man sig ikke med halv-hovedaksen - afstanden fra fokus til centrum blev kaldt ellipsens excentricitet [2] .
Excentriciteten af en ellipse kan også udtrykkes som forholdet mellem de mindre ( ) og større ( ) halvakser: $b$ $-en$

e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}

En hyperbels excentricitet kan udtrykkes som forholdet mellem den imaginære ( ) og den reelle ( ) halvakse: $b$ $-en$

e={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}

Excentriciteten af en ligesidet hyperbel, som er en omvendt proportionalitetsgraf og givet af ligningen , er lig med . $f(x)={k \over x},x\neq 0,k\neq 0$ ${\sqrt {2}}$

For en ellipse kan det også udtrykkes som forholdet mellem peri- ( ) og apocenter ( ) radier: ${\displaystyle r_{\mathrm {per} ))$ $r_{\mathrm {ap} }$

e={\frac {r_{\mathrm {ap} }-r_{\mathrm {per} }}{r_{\mathrm {ap} }+r_{\mathrm {per} }}}=1-{\frac {2}{{\frac {r_{\mathrm {ap} }}{r_{\mathrm {per} }}}+1}}

Se også

Noter

↑ John Bonnycastle. En introduktion til astronomi . - London, 1787. - S. 90.
↑ The Oxford English Dictionary . — 2. udg. - Oxford: Oxford University Press , 1989. - Vol. V. - P. 50.

Litteratur

Akopyan AV , Zaslavsky AA Geometriske egenskaber af kurver af anden orden . — M.: MTsNMO , 2007. — 136 s.

Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk norsk Britannica (online) Desktop
I bibliografiske kataloger	GND : 4340863-1