Beskrivende geometri

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 3. december 2021; checks kræver 3 redigeringer .

Beskrivende geometri  er en ingeniørdisciplin, der repræsenterer et todimensionelt geometrisk apparat og et sæt algoritmer til at studere geometriske objekters egenskaber.

Praktisk beskrivende geometri er begrænset til studiet af objekter i det tredimensionelle euklidiske rum . De indledende data skal præsenteres som to uafhængige fremskrivninger. I de fleste problemer og algoritmer bruges to ortogonale projektioner på indbyrdes vinkelrette planer.

På nuværende tidspunkt har disciplinen ingen praktisk værdi på grund af udviklingen af ​​computerteknologi og lineær algebras apparatur , men er formentlig uundværlig som en del af almen ingeniøruddannelse inden for ingeniør- og konstruktionsspecialiteter.

Beskrivende geometri  er en videnskab, der studerer rumlige figurer ved at projicere (lægge) vinkelrette på nogle tre planer, som så betragtes som kombineret med hinanden.

På den sædvanlige måde at afbilde genstande på forkortes linjer, der strækker sig langt fra iagttagerens øje, selv om de er afbildet, i overensstemmelse med hvordan de fremstår for os, men denne reduktion bestemmes sædvanligvis af tegneren med øje, og skønt i visse tilfælde kan det nøjagtigt formidles ved fotografi, men forholdet, hvori de forskellige linjer i det afbildede objekt led sammentrækninger, er stadig vanskeligt at bestemme; derudover fører fotografering i mange tilfælde også til perspektivfejl. Enhver mester, hvad enten det er en tømrer, en låsesmed, en drejer, en stenhugger osv., kan kun udføre en bestilt vare efter kundens ønske, hvis han får præcis den samme genstand til en prøve, eller hans model eller design tegning , ifølge hvilken dimensionerne af alle de tegnede linjer ville være let og nøjagtigt bestemt, selv hvis dem, der er fjernet i billedets dybder og derfor er afbildet som forkortede. Beskrivende geometri lærer udarbejdelsen af ​​sådanne tegninger, hvor objektet er afbildet næsten som vi ser det, og desuden på en sådan måde, at dimensionerne og det sande udseende af det afbildede objekt kan bestemmes nøjagtigt ud fra de tegnede linjer.

Historien om skabelsen af ​​beskrivende geometri

I sit klassiske værk "Geometrie descriptive" ("Descriptive geometrie"), udgivet i 1798, udviklede Gaspard Monge en generel geometrisk teori , der gør det muligt at løse forskellige stereometriske problemer på et fladt ark indeholdende ortogonale projektioner af et tredimensionelt legeme [1 ] .

Han skabte en abstrakt geometrisk model af det virkelige rum , ifølge hvilken hvert punkt i det tredimensionelle rum er tildelt to af dets ortogonale projektioner på gensidigt vinkelrette planer. Med tiden bliver en projektionstegning , bygget i henhold til reglerne for beskrivende geometri, et arbejdsredskab for ingeniører , arkitekter og teknikere i alle lande. [en]

Monge brugte i sin teori udtrykkene "horisontal", "horisontal projektionslinje" og "horisontal projektionsplan", såvel som "lodret", "lodret projektionslinje" og "lodret projektionsplan". Tilstedeværelsen af ​​etablerede termer i det professionelle miljø er ifølge Monge en tilstrækkelig grund til at nægte at introducere mere generel abstrakt terminologi i omløb:

”Dertil kommer, da størstedelen af ​​specialister, der bruger projektionsmetoden. vant til at forholde sig til det vandrette plans position og retningen af ​​lodlinjen, antager de normalt, at af de to projektionsplaner er det ene vandret og det andet er lodret .

Terminologi

Grundlæggende principper

Forestil dig, at i punkt O (fig. 1) er øjet af en person, der ser på et objekt AB. Lad os forestille os et plan MN mellem øjet og objektet , placeret vinkelret på linjen, langs hvilken øjet ser ud. Lad os tegne lige linjer fra O til de punkter på objektet, der karakteriserer dets form. Disse linjer, kaldet projektionsstråler , vil skære MN -planet på forskellige punkter. Sættet af sådanne punkter ab vil udgøre billedet af objektet AB , der tjener som dets billede. Derfor kaldes planet MN billedplanet. Skæringspunktet mellem projektionsstrålen og billedets plan kaldes den centrale projektion eller perspektiv af det punkt på objektet, hvorfra den givne projektionsstråle kommer. Denne måde at afbilde et objekt på kaldes perspektiv. Hvis vi i stedet for at lede projektionsstråler fra objektets punkter til øjet sænker perpendikulerne fra objektets punkter til billedets plan, så vil det resulterende billede, repræsenteret ved totalen af ​​grundene for disse perpendikulærer, bevare en vis lighed med det perspektiviske. Jo mere punktet O fjernes fra objektet, jo mere vil projektionsstrålerne nærme sig positionen, der er indbyrdes parallel og vinkelret på billedets plan. Et sådant billede kaldes en ortogonal projektion. Så i en ortogonal projektion er hvert punkt af objektet afbildet af bunden af ​​vinkelret, sænket fra det til billedets plan. At opnå rigtige dimensioner fra en given tegning og andre konstruktioner er usammenlignelig lettere med ortogonalt design end med perspektiv .

Hovedideen med beskrivende geometri er som følger: Hvis der er to ortogonale projektioner af et objekt på to planer, placeret på forskellige måder i forhold til objektet, så kan du ved hjælp af relativt simple konstruktioner på disse to billeder få den sande objektets dimensioner, den sande form af dets flade linjer og ortogonale projektion til et givet tredje plan. For dette er det naturligvis nødvendigt at vide, i hvilken målestok de givne to ortogonale projektioner blev givet, det vil sige i hvilken generel henseende hele tegningen blev formindsket eller forstørret i forhold til virkeligheden. Normalt sætter de visningen af ​​et objekt ved dets ortogonale projektioner på sådanne to planer, hvoraf det ene er vandret og kaldes plan , og det andet er lodret og kaldes facade . De kaldes også vandrette og lodrette projektionsplaner. En ortogonal projektion af et objekt på et plan vinkelret på planen og facaden kaldes et sidebillede. En meget vigtig teknik for beskrivende geometri ligger i, at facadeplanet, sidebilledet og alle andre planer, hvorpå objektet er projiceret, mentalt foldes ind på planens plan ved at dreje rundt om den lige linje, langs hvilken planen skærer med flyet foldet. Denne teknik kaldes matching. Yderligere konstruktioner er allerede lavet på en sådan kombineret tegning , som angivet nedenfor. Da hvert objekt er en samling af punkter, er det først og fremmest nødvendigt at blive bekendt med billedet af planen og facaden af ​​punktet på den kombinerede tegning.

Lad a (fig. 2) være et givet punkt; P plan plan; Q -plan af facaden. Hvis vi dropper vinkelret fra a til planen, får vi planen a' af punkt a ; falder vinkelret fra a til facaden, får vi facaden b af punkt a . Vinkelrette aa' og ab kaldes projektlinjer. Planet baa' defineret af projektionslinjerne kaldes projektionsplanet. Det er vinkelret på både plan og opstalt, og er derfor vinkelret på skæringspunktet mellem plan og højdeplan, kaldet det fælles snit. Lad a o være det punkt, hvor det fremspringende plan skærer det fælles snit: a o a' og a o b vil være vinkelret på det fælles snit. Med de givne planer af planen og facaden er positionen af ​​punktet a fuldstændig bestemt af dets plan a' og facaden b , da a er i skæringspunktet mellem vinkelret hævet fra a' til planens plan, med vinkelret hævet fra b til facadens plan. For at opnå en kombineret tegning, lad os rotere facadens Q -plan i pilens retning nær det fælles snit, indtil det falder sammen med planens plan. I dette tilfælde vil punkt b falde ind i a" . Således vil punkt a" , som er en kombineret facade af punkt a , ligge på fortsættelsen af ​​vinkelret a'a o sænket fra plan a' til et fælles snit.

Således er den kombinerede tegning vist i fig. 3 hvor MN er den fælles spalte; a'  er planen og a"  er den kombinerede facade af punktet a , som i sig selv ikke længere vises.

Beskrivende geometri omhandler kun overlejrede tegninger; hvert punkt er givet af planen og den kombinerede facade; tegninger, fyldt med almindelige teknikker (som vi har i fig. 1, 2 og 5), ty til kun i begyndelsen af ​​studiet af denne videnskab.

Projektion af en ret linje

En ret linje er defineret af to punkter. Derfor, hvis der er en plan og facade (kombineret) af to punkter a og b , der ligger på en linje, så vil linje a'b' , der forbinder planerne for punkt a og b , være planen for linje ab og linje a"b" forbinder facaderne af punkt a og b , vil være facaden på linjen ab . Figur 4 viser den rette linie ab med plan og facade.

Typiske tricks

Bestemmelse af den sande længde af et lige linjestykke givet ved plan og projektion

Lad os bruge tegningen, udført på den sædvanlige måde (fig. 5).

Lad ab være det givne rette linjestykke, a'b' dets plan og "b" dets facade. Lad os dreje planet a'abb' rundt om den lige linje a'b' og bøje det til positionen a'b'BA på planplanet. I dette tilfælde vil segmentet ab indtage positionen AB. Følgelig:

Aa' = aa' = a "a o Bb' = bb' = b "b o

Vinkelrette linjer a'a og b'b til a'b' har derfor ikke ændret sig, for at bestemme dens sande længde ud fra en given plan og facade af et lige segment i en kombineret tegning (fig. 6). du skal: gendanne fra a' og b' til vinkelret på planen a'b' og sætte på dem: a'A=a o a" ; b'B=b o b" .

Linjen AB vil være lig med den sande længde af linjen ab . I dette eksempel ser vi, at på tegning 5, udført på sædvanlig måde, er den rette linie ab vist i en forkortet form efter den måde, vi ser det på, og da graden af ​​denne forkortelse er ukendt, er det umuligt at bestemme den sande afstand ab fra tegning 5. I mellemtiden, på tegning 6, selvom selve linjen ab ikke er vist, men kun dens plan a'b' og facaden a"b" er givet , så er det ud fra dem muligt at bestemme den linje, de repræsenterer med fuldstændig nøjagtighed.

Bestemmelse af sidebilledet af et punkt i henhold til dets plan og facade

Lad a' være planen og a" facaden af ​​et givet punkt (fig. 7), mens sidebilledet skærer planens plan langs den rette linje på og facadens plan langs den rette linie om .

Når planen og facadens planer kombineres, vil om og on ligge på den samme rette linie mn , vinkelret på MN , da vi antager, at sidebilledets plan er vinkelret på planen og facadens planer. Kombinationen af ​​de tre planer antages at være sket som følger: For det første blev sidebilledets plan kombineret ved rotation omkring om med facadens plan; så blev de begge ved drejning omkring MN rettet ind efter planens plan, som er tegningens plan. Det er ikke svært at se, at i dette tilfælde vil afstanden a"s i sidebilledet a"' af punktet a fra MN være lig med a o a" og afstanden a'" fra om vil være lig a o a'. Ud fra dette får vi følgende konstruktion: når a' og a" , så tegner vi vinkelret mn på MN og dropper vinkelret a'q fra a' til det ; med radius oq beskriver vi en bue fra midten o , der skærer hinanden MN i punkt s ; fra s genskaber vi vinkelret på MN. Skæringspunktet mellem denne vinkelrette med linjen trukket gennem facaden a" parallelt med MN , og vil være sidebillede a'" .

Polygon sidevisning definition

Hvis der gives (fig. 8) planen og facaden af ​​siderne af polygonen, og følgelig dens hjørner, så vil vi ved at bygge sidebillederne af hjørnerne også få sidebilledet af polygonen. Med en masse punkter, som vi har at gøre med i tegningen, er det praktisk at udpege dem med tal.

En lignende teknik til at konstruere et "sidebillede" (mere præcist, en profilprojektion eller en venstrevisning) fra designerens synspunkt tillader ikke et vellykket layout af tegningen. For at sikre sidstnævnte er brugen af ​​koordinatakser uhensigtsmæssig, da det begrænser layoutet af tegningen, hvilket tvinger dig til konstant at opretholde de samme afstande mellem front-, top- og venstrevisninger, hvilket oftest er uønsket. For at bygge en tredje i henhold til to typer af originalen er det praktisk at arrangere tegningen, i stedet for koordinatakserne vil "referencebaser" bundet til billeder (visninger) hjælpe.

Projicering af en boks

Normalt er de sat i en sådan position af planen og facadens planer, hvor det givne objekt projiceres på dem ved en simpel tegning, og allerede ifølge denne plan og facade bygger de en projektion af objektet på et sådant plan hvorpå den er afbildet i al sin kompleksitet. Den oprindelige plan og facade kan endda vælges, så nogle dimensioner af objektet ikke forvrænges på dem. Det vil vi vise i det følgende eksempel på billedet af et parallelepipedum (fig. 9).

Forestil dig, at parallelepipedet ligger med en af ​​dets kanter på planens plan, og dets bag- og frontbaser er parallelle med facadens plan. Derefter projiceres disse fundamenter på facaden, overlappende hinanden (skjuler hinanden), men i deres sande form. Der opnås en fremskrivning på planen, hvor værdien af ​​kanterne parallelt med planen bevares. Lad os mentalt rotere parallelepipedummet rundt om en bestemt lodret og tage det lidt til siden. Så vil hans plan vende i samme vinkel og blive taget til side. For at få planen over den nye position tegner vi en ret linje 1'3', som danner en vis vinkel med retningen 1 3 af den tidligere plan, og på denne linje bygger vi en figur svarende til den tidligere plan vha. almindelig geometris metoder. Toppunkterne på facaden af ​​den nye position vil ligge på vinkelrette punkter, der er sænket fra hjørnerne af den nye plan til et fælles snit. Derudover vil de ligge på parallellerne trukket fra hjørnerne af den tidligere facade til det fælles snit, fordi under den nævnte bevægelse af parallelepipedet forblev dets hjørner i samme højde fra planens plan. Så skæringspunkterne mellem de nævnte vinkelrette og parallelle vil være toppen af ​​den nye facade. Ved at forbinde dem sammen og afbilde med svagere træk linjerne, der er skjult af parallelepipedet, får vi et sådant billede af det, hvor alle dets 12 kanter allerede er synlige. Hvad angår billedet af et parallelepiped, er det nok at afbilde dets kanter, og for billedet af en buet overflade er det nok at afbilde dets mest karakteristiske linjer, mellem hvilke den synlige kontur er af afgørende betydning -  kurven langs hvilken de fremspringende linjer røre ved overfladen.

Skæringspunktet mellem to cirkulære cylindre

For at tydeliggøre den måde, hvorpå buede overflader er afbildet, lad os overveje anvendelsen af ​​H. geometri til det følgende praktiske spørgsmål. Det er påkrævet at forbinde to rør nittet fra kedelpladejern til hinanden, således at det ene rør, der er vinkelret på det andet, ville skære ind i det med mere end halvdelen af ​​dets tykkelse. For at gøre dette skal der laves et vindue i et af rørene (lad os sige i det større), hvilket selvfølgelig er mere bekvemt at lave i arket, hvorfra det store rør er lavet, mens det endnu ikke er nittet. Det er påkrævet at bestemme formen på vinduet, der skal skæres i arket, der bruges til at forberede et stort rør.

Lad (fig. 10) planens plan være vinkelret på det store rør, og facadens plan være parallelt med begge rørs akser. Så vil planen for det store rør være cirklen 036 , og dens facade vil være repræsenteret af rektanglet ABCD. Planen for den lille skorsten bliver mnpq og facade abcd. Lad HF være facaden af ​​det lille rørs diametrale og plan-parallelle plan. På nm , som på diameteren, beskriver vi buen nsm. Lad os tage noget generatrix h5 af et lille rør og bestemme facaden af ​​det punkt med indbyrdes skæring af rør, der ligger på denne generatrix, og hvis plan derfor er punkt 1. Den ønskede facade af punktet skal for det første ligge på en vinkelret sænket ned på et fælles snit fra punkt 1. For det andet vil det ligge fra HF i en højde HS lig hs. Så punktet S er den nødvendige facade. Ved at specificere andre generatorer og opbygge facaderne af rørenes indbyrdes skæringspunkter opnås et antal punkter, hvis forbindelse vil være facaden af ​​rørenes skæringspunkt. Lad os nu udvide halvcirklen 036. Denne opgave kan kun udføres tilnærmelsesvis. Det løses med tilstrækkelig tilnærmelse, hvis vi tager længden af ​​en halvcirkel som summen af ​​siden af ​​et indskrevet kvadrat og siden af ​​en regulær indskrevet trekant. Siden af ​​den indskrevne firkant vil være akkorden 36 , siden af ​​trekanten er akkorden 04 , hvis tallene angiver opdelingen af ​​halvcirklen i 6 dele. Summen af ​​disse akkorder er afbildet på en speciel tegning (fig. 11) og opdelt i 6 dele. Lad PQ svare til det nævnte diametralplan af det lille rør: det skal tegnes parallelt med den rette linie 012... i en afstand OP=AE. Gendan fra division 1 vinkelret på linjen 012... og tilsidesætter på den fra dens skæringspunkt med PQ værdien h's'=hs=HS , får vi punktet s' af den påkrævede kurve, langs hvilken vinduet skal skæres ud i ark MN . Ved at opnå andre punkter i den ønskede kurve på samme måde, bestemmer vi netop denne kurve vist på tegningen (fig. 11).

Historie

Beskrivende geometri blev udviklet af G. Monge i 1760-1770, da han som lærer ved Ingeniørskolen i Mézières blev betroet den vanskelige opgave at beregne relief af befæstninger.

Det er tæt forbundet med teorien om skygger og metoden til aksonometriske projektioner .

Introduktion

Deskriptiv geometri er en af ​​de discipliner , der ligger til grund for ingeniøruddannelsen .

Emnet for beskrivende geometri er præsentation og begrundelse af metoder til afbildning og konstruktion af tredimensionelle objekter på et todimensionelt tegneplan og metoder til løsning af problemer af geometrisk (tegnende) karakter med disse billeder.

Billeder bygget i henhold til reglerne for beskrivende geometri tillader:

Beskrivende geometri er det teoretiske grundlag for den praktiske implementering af tekniske tegninger, hvilket sikrer deres udtryksfuldhed og nøjagtighed . Og følgelig muligheden for passende fremstilling i henhold til tegningerne af rigtige dele og strukturer.

Længden af ​​et linjestykke

Et linjesegment placeret i rummet parallelt med et hvilket som helst projektionsplan projiceres på dette plan i reel størrelse (det vil sige uden forvrængning).

Længden af ​​et lige linjestykke ifølge dets projektioner er defineret som hypotenusen af ​​en retvinklet trekant , hvoraf det ene ben er en af ​​projektionerne af dette segment, og det andet ben er den absolutte værdi af den algebraiske forskel af afstandene fra enderne af den anden projektion af segmentet til projektionsaksen .

Se også

Noter

  1. ↑ 1 2 Kargin D. I. Gaspard Monge og hans "Descriptive Geometry" / Appendiks til Gaspard Monges bog "Descriptive Geometry" / Oversættelse af V. F. Gaze Under generel redaktion af Kravets T. P. - 1. - Leningrad, USSR's Videnskabsakademi, 1947. - S. 254. - 291 s.
  2. ↑ Gaspar Monge. Beskrivende geometri / Oversat af Gaze V.F. Under den generelle redaktion af Kravets T.P. - 1. - Leningrad, USSR's Videnskabsakademi, 1947. - S. 23. - 291 s.
  3. ↑ 1 2 3 Beskrivende geometri . CADI-instruktør (5. juli 2018). Hentet 9. november 2019. Arkiveret fra originalen 9. november 2019.
  4. ↑ 1 2 3 Gordon V. O., Sementsov-Ogievsky M. A. Descriptive geometry course / Redigeret af Ivanov Yu. B. - 23. - Moscow: Nauka, 1988. - S. 8. - 272 s.

Litteratur

Links

  Gå til Wikidata-elementet  Ordbøger og encyklopædier
I bibliografiske kataloger