Påfyldningsradius

Følelsesradius er en metrisk karakteristik af en Riemann-manifold .

Foreslået af Gromov i 1983. Han brugte påfyldningsradius til at bevise den systoliske ulighed for væsentlige manifolder .

Kurver i planet

Fyldningsradius ( ) af en lukket kurve C i planet er defineret som den største radius af en cirkel, der er indeholdt i kurven. $\mathrm {FillRad} (C\subset \mathbb {R} ^{2})$ $R>0$

Fyldningsradiusen af en kurve C kan også defineres som den mindste infimum af sådan, at kurven C krymper til et punkt i dens -kvarter. $\varepsilon >0$ $\varepsilon$

Definition

Betegn med A ringen eller , afhængigt af om X er orienterbar eller ej. $\mathbb {Z}$ ${\mathbb {Z}}_{2}$

Så er den fundamentale klasse , betegnet [X] , af en kompakt n - dimensional manifold X , en generator af homologigruppen , og vi sætter $H_{n}(X;A)\simeq A$

\mathrm {FillRad} (X)=\inf \left\{\varepsilon >0\mid \iota _{\varepsilon }([X])=0\in H_{n}(U_{\varepsilon } X)\right\},

hvor betegner Kuratowski-indlejringen af X i rummet af afgrænsede funktioner på X. ${\displaystyle \iota _{\varepsilon ))$

Egenskaber

I enhver dimension er der en konstant , at uligheden $n$ $c_n$ $(\mathrm {FillRad} \,M)^{n}\leq c_{n}\cdot \mathrm {vol} \,M$

gælder for enhver lukket Riemann -dimensionel manifold .

n

M

Dette er hovedegenskaben ved fyldningsradius, som bruges af Gromov til at bevise den systoliske ulighed; et bevis med betydelige forenklinger og en forbedret konstant er givet af Alexander Nabutovsky. [en]
For en given manifold på mindst 3 dimensioner er den optimale konstant i uligheden $M$ $c(M)$

(\mathrm {FillRad} \,(M,g))^{n}\leq c(M)\cdot \mathrm {vol} \,(M,g)

misundelse kun på dimensionen og dens orienteringsevne. [2]

M

Påfyldningsradius overstiger ikke en tredjedel af diameteren. [3]
- Ligestilling opnås for et reelt projektivt rum med en kanonisk metrik.
  - Især er fyldningsradius for enhedscirklen med den inducerede Riemann-metrik π/3, det vil sige en sjettedel af dens længde.

Systolen af en væsentlig manifold overstiger ikke seks af dens fyldningsradier.
- Denne ulighed bliver en lighed for virkelige projektive rum, som nævnt ovenfor.

Injektivitetsradius af en kompakt manifold M giver en nedre grænse for påfyldningsradius. Nemlig $\mathrm {FillRad} M\geq {\frac {\mathrm {InjRad} M}{\dim M+1)).$

Noter

↑ Alexander Nabutovsky, Lineære grænser for konstanter i Gromovs systoliske ulighed og relaterede resultater. arXiv : 1909.12225
↑ Brunnbauer, Michael, At udfylde uligheder afhænger ikke af topologi. J. Reine Angew. Matematik. 624 (2008), 217-231.
↑ Katz, M.: Fyldningsradius for topunkts homogene rum. Journal of Differential Geometry 18, nummer 3 (1983), 505-511.

Litteratur

Gromov, M.: Filling Riemannian manifolds, Journal of Differential Geometry 18 (1983), 1-147.
Katz, M.: Fyldningsradius af topunkts homogene rum. Journal of Differential Geometry 18, nummer 3 (1983), 505-511.
Katz , Mikhail G. (2007), Systolisk geometri og topologi , vol. 137, Mathematical Surveys and Monographs, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4177-8 , OCLC 77716978