Harmonisk bølge

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 16. august 2016; checks kræver 2 redigeringer .

En harmonisk bølge er en bølge, hvor hvert punkt i et oscillerende medium eller felt ved hvert punkt i rummet laver harmoniske svingninger .

I forskellige tilfælde, om nødvendigt, fremhæves klassen af harmoniske bølger af interesse, for eksempel en plan harmonisk bølge , en stående harmonisk bølge osv. (se nedenfor). [en]

Kilderne til harmoniske bølger kan være harmoniske svingninger , de kan også exciteres i ethvert system, når det interagerer med en harmonisk bølge.

Endimensionel kasus

Tilfældet med et endimensionelt homogent rum (eller endimensionelt homogent medium) [2] er det enkleste.

I dette tilfælde reduceres alle typer harmoniske bølger til:

sinusformede (cosinus) vandrende bølger:

u(x,t)=A\ cos(kx-\omega t+\phi _{0})\

eller vandrende bølger i form af en imaginær eksponent:

u(x,t)=A\ e^{i(kx-\omega t)},\

såvel som til endelige lineære kombinationer af bølger af denne type (for at udtrykke en vilkårlig reel harmonisk bølge i dette tilfælde er det nok at blande to bølger af den første type eller fire af den anden; i tilfælde af en mere multidimensional u, to sådanne udtryk tilføjes for hver polarisering).

Konceptet med en harmonisk stående bølge kan også bruges, som er reduceret til summen af to harmoniske vandrende (løber i modsatte retninger) bølger beskrevet ovenfor:

u(x,t)={\frac {A}{2}}\cdot (cos(kx-\omega t+\phi _{0})+cos(-kx-\omega t+{\hat { \phi }}_{0}))=Acos(kx+\phi '_{0})cos(\omega t+{\hat {\phi }}'_{0}).

Her er A en konstant (uafhængig af x og t ) koefficient, hvis natur og dimension falder sammen med karakteren og dimensionen af feltet u ; k , ω og φ 0 er også konstante parametre; i det betragtede endimensionelle tilfælde er de alle reelle tal (i modsætning til mere multidimensionelle, hvor k bliver en vektor, for plane bølger). A er amplituden af bølgen, k er bølgetallet, ω er den (cykliske) frekvens, og φ 0 er startfasen - det vil sige bølgens fase ved x = t = 0.

I den anden formel er A (normalt) kompleks, amplituden af bølgen bestemmes af dens modul | A |, og den indledende fase er også skjult i A som argument, fordi

u(x,t)=A\ e^{i(kx-\omega t)}=|A|\ e^{iArgA}e^{i(kx-\omega t)}=|A| \ e^{i(kx-\omega t+ArgA)}.

Ligesom en stående bølge udtrykkes (som skrevet her) i form af to vandrende bølger, så kan en rejsebølge udtrykkes som to stående. Derfor kan man vælge en af to lige store måder at udtrykke en vilkårlig harmonisk bølge på i tilfælde af et endimensionelt homogent rum: gennem en lineær kombination af vandrende bølger eller en lineær kombination af stående bølger. Dette gælder for alle andre tilfælde, selvom de fundamentale bølger, gennem den lineære kombination af hvilken en vilkårlig harmonisk bølge udtrykkes, kan vise sig at være mere komplicerede.

tilfældet med et inhomogent endimensionelt rum (inhomogent medium) viser sig at være meget mere kompliceret. I dette tilfælde bliver harmoniske bølgers afhængighed af den rumlige koordinat x ikke sinusformet, men i det generelle - og mest typiske - tilfælde og kommer slet ikke til udtryk gennem elementære funktioner. Ikke desto mindre, i dette tilfælde, forbliver udsagnet om muligheden for at udtrykke en vilkårlig harmonisk bølge i form af et endeligt (for en bestemt frekvens) antal grundlæggende harmoniske bølger sand.

Tilfælde af rum med dimensioner større end én

I tilfælde af rum med en dimension større end én, selvom det er homogent, stiger variationen af mulige harmoniske bølger i princippet meget. Der er dog to typer harmoniske bølger, der fortjener særlig opmærksomhed.

Plane harmoniske bølger

Den vigtigste og hyppigste type harmoniske bølger er plane harmoniske bølger (endimensionelle harmoniske bølger er deres endimensionelle specialtilfælde).

En vandrende plan bølge er en bølge af denne type:

u(x,t)=A\ cos({\vec {k}}\cdot {\vec {x}}-\omega t+\phi _{0})\

eller

u(x,t)=A\ e^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {x}}-\omega t)},\

hvor, i modsætning til en endimensionel bølge , ikke længere er et reelt tal, men en vektor kaldet bølgevektoren , hvis dimension er lig med rummets dimension, og udtrykket betyder skalarproduktet af denne vektor med vektoren [ 3] karakteriserer et punkt i rummet :. ${\vec k}$ ${\vec {k}}\cdot {\vec {x}}$ ${\vec {x}}=(x_{1},x_{2},x_{3},\dots )=(x,y,z,\dots )$ ${\vec {k}}\cdot {\vec {x}}=k_{1}x_{1}+k_{2}x_{2}+k_{3}x_{3}+\dots$

Det er let at se, at hvis vi vælger koordinataksen langs bølgevektoren, reduceres den plane flerdimensionelle bølge til en endimensionel ( u ophører generelt med at afhænge af de andre koordinater og afhænger af den første som en endimensionel harmonisk bølge).

Stående plan bølge:

u(x,t)=Acos({\vec {k}}\cdot {\vec {x}}+\phi _{0})cos(\omega t+{\hat {\phi }}' _{0}).

Ligesom i det endimensionelle tilfælde udtrykkes stående og gående harmoniske bølger af samme frekvens med den samme (måske op til et tegn) bølgevektor elementært lineært gennem hinanden.

Da ved hjælp af Fourier-transformationen (i det aktuelle afsnit er den multidimensionelle Fourier-transformation naturligvis underforstået), kan næsten enhver [4] funktion af rumlige koordinater repræsenteres som en sum (integral) af funktioner, der repræsenterer hver planbølge, og afhængigheden af tid i så fald for tilfælde af et homogent rum vil være også åbenlyst harmonisk, så er det indlysende, at det er praktisk at udvide enhver harmonisk (og ikke kun harmonisk) bølge i form af plane harmoniske bølger. I nogle tilfælde og til en vis udstrækning kan dette være nyttigt i tilfælde af heterogenitet af rummet, selvom det i dette tilfælde meget vel ikke giver de forventede fordele, eller at udvinde disse fordele kan kræve særlig kunst.

Sfæriske harmoniske bølger

Sfæriske harmoniske bølger er noget mindre universelle og enkle (de er endnu sværere at skrive ud eksplicit, hvis ikke blot udtrykt i termer af uendelige summer/integraler af plane bølger; for eksempel, for todimensionelt rum, udtrykkes harmoniske sfæriske bølger i udtryk for Bessel-funktioner , det vil sige, at de ikke udtrykkes i form af elementære funktioner).

Ikke desto mindre er de meget nyttige, når selve problemets betingelser hælder mod et forsøg på at overveje sfæriske bølger, det vil sige især når man studerer bølger genereret af en punktkilde, eller når problemet som helhed har sfærisk symmetri (sidstnævnte er bedst for at forsøge at lede efter en løsning blot i form af kun sfæriske bølger).

For et tredimensionelt homogent rum har harmoniske sfæriske bølger formen:

kører:

u(r,t)=A\ {\frac {cos(kr-\omega t+\phi _{0})}{r))

eller

u(r,t)=A\ {\frac {e^{i(kr-\omega t+\phi _{0))))){r))

stående:

u(r,t)=A\ {\frac {cos(kr+\phi _{0})\cdot cos(\omega t+{\hat {\phi}}_{0})}{r} }

eller (i en form, der er egnet til nedbrydning):

u(r,t)=A\ {\frac {cos(kr)\cdot cos(\omega t)}{r))

u(r,t)=A\ {\frac {cos(kr)\cdot sin(\omega t)}{r))

Betydning og teoretisk anvendelse

Generel lineær kasus

Enhver lineær differentialligning af formen

$K{\frac {\partial ^{n}u}{\partial t^{n))}=Lu,$

hvor rækkefølgen af differentiering med hensyn til tid n kan være hvilken som helst (oftere er n = 1 eller 2 af interesse), og L er en hvilken som helst lineær differentialoperator, der ikke afhænger af t (selvom hvis u skal være reel endimensionel, og L er Hermitian, så skal ulige n udelukkes ) vil have en harmonisk bølgeløsning.

Faktisk, lad os erstatte , hvor x er et punkt i rummet af enhver dimension. Så får vi: $u=e^{i\omega t}\cdot v(x)$

$Ki^{n}\omega ^{n}v=Lv,\$

og eksponenten reduceres. Efter at have foretaget den samme substitution med -ω , opnår vi, under betingelserne for en passende K specificeret ovenfor, for at opnå den reelle v som summen af disse to løsninger.

Noter

↑ Ordet 'harmonisk' er her synonymt med ' monokromatisk ', men tilsyneladende ikke helt nøjagtigt; under alle omstændigheder afviger de sædvanlige omfang af begge udtryk normalt noget.
↑ Samt, selvfølgelig, som de multidimensionelle tilfælde, der reducerer til det
↑ Ellipsen betyder, at antallet af koordinater, der definerer vektoren, er lig med rummets dimension; hvis denne dimension er lig med 2, så skal antallet af vektorkomponenter selvfølgelig også afkortes til 2.
↑ Matematiske betingelser pålagt den klasse af funktioner, for hvilke Fourier-transformationen er mulig, og for hvilken den inverse transformation genopretter den oprindelige funktion, kan anses for opfyldt for enhver funktion af interesse fra et bølgefysisk synspunkt, og tilfælde, hvor dette ikke er ganske tilfældet er som regel ikke særlig vigtige ud fra et fundamentalt synspunkt, og for det andet er de ganske vellykket korrigeret ved en ret simpel regulering.