Kondenseringspunkt

Kondensationspunktet er en forstærket version af grænsepunktet og en speciel version af akkumuleringspunktet i den generelle topologi : for et givet sæt i et topologisk rum kaldes et punkt et kondensationspunkt, hvis et kvarter indeholder et utalligt sæt punkter af sættet . $EN$ $x$ $x\i X$ $x$ $EN$

Sættets kondenseringspunkter - - er lukket , og hvis det ikke er tomt, er det et perfekt sæt og har kontinuumets kardinalitet . Sættet af kondenseringspunkter for lukningen af sættet falder sammen med sættet af kondenseringspunkter for selve sættet: . Foreningen af sættene af kondenseringspunkter af to sæt falder sammen med sættet af kondenseringspunkter for sammenslutningen af de originale sæt :. For et sæt i et rum med det andet tællelighedsaksiom , og kan tælles . De sidste to egenskaber indebærer direkte Cantor-Bendixon-sætningen i den generelle topologiske version (oprindeligt bevist for delmængder af den reelle linje). $EN$ ${\displaystyle A^{\circ ))$ ${\bar {A}}^{\circ }=A^{\circ }$ $(A\kop B)^{\cirkel }=A^{\cirkel}\kop B^{\cirkel }$ $EN$ $x$ $A\setminus A^{\circ }$ $(A^{\circ })^{\circ }=A$

For den numeriske delmængde er alle grænsepunkter kondensationspunkter; hvert punkt i Cantor-diskontinuumet er dets kondensationspunkt. Et tælligt sæt kondensationspunkter kan ikke have (samtidigt kan grænsepunkter eksistere, for eksempel er alle punkter på den reelle linje grænsepunkter for et tælleligt sæt rationelle tal). $\mathbb {Q}$

For underrum af euklidiske rum blev kondensationspunkter defineret og undersøgt i 1903 af Ernst Lindelöf , i 1914 udvidede Felix Hausdorff konceptet til generelle topologiske rum.

Litteratur

Aleksandrov PS Introduktion til mængdeteori og generel topologi. - M .: Science , 1977. - S. 104, 143, 159-160. — 368 s.
Engelking R. Generel topologi . - M .: Mir , 1986. - S. 102 . — 752 s.
Kondensationspunkt - artikel fra Encyclopedia of Mathematics . B.A. Efimov