Teori om integrerbare systemer

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 15. januar 2022; verifikation kræver 1 redigering .

Teorien om integrerbare systemer er en gren af matematisk fysik, der studerer ikke- dissipative løsninger af differentialligninger, herunder partielle differentialligninger . Sådanne systemer har tilsvarende højere symmetrier .

C-integrerbare systemer

Ved C-integrable forstår vi sådanne systemer, hvis løsninger kan repræsenteres i en eksplicit form, der ikke er sværere end gennem kvadraturer - integraler, der afhænger af problemets indledende data.

Eksempler

Hamiltonske integrerbare systemer og den inverse spredningsmetode

Metoden til det omvendte spredningsproblem indebærer, at en partiel differentialligning kan repræsenteres som et Lax-par , et system af to lineære operatorer, hvis kompatibilitetsbetingelse er det pågældende system.

Eksempler

sinus-gordon ligning

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t\partial x}}=\sin u\qquad u=u(x,t)$

er systemkompatibilitetsbetingelsen ${\frac {\partial {\vec \psi }}{\partial t}}=-{\frac 1{2\lambda }}{\begin{pmatrix}0&\exp(iu)\\\exp(iu) &0\end{pmatrix}}{\vec \psi },\qquad {\frac {\partial {\vec \psi }}{\partial x}}=-{\frac 1{2}}{\begin{pmatrix }-i{\frac {\partial u}{\partial x))&\lambda \\\lambda &i{\frac {\partial u}{\partial x))\end{pmatrix)){\vec \psi },\qquad {\vec \psi }={\begin{pmatrix}\psi _{1}(x,t)\\\psi _{2}(x,t)\end{pmatrix}}$

Bygningsløsninger

Integrerbare systemer og symmetrier

Integrerbare kæder

Eksempler

Kæde af Toda
Benny kæde

Se også

Noter

Litteratur

Zakharov V.E., Manakov S.V., Novikov S.P., Pitaevsky L.P. Teori om solitoner: den omvendte problemmetode. - 1980. - 319 s.
Ikke- lineær Schrödinger-ligning - Encyclopedia of Physics artikel
J. Whitham. Lineære og ikke-lineære bølger . - Mir, 1977. - S. 574-578. — 622 s.
Ablowitz M., Sigur H. Solitons og den omvendte problemmetode. - M., 1987.
Lam J., Introduktion til teorien om solitoner, trans. fra engelsk, M., 1983.
L. A. Takhtadzhyan, L. D. Faddeev - Hamiltonsk tilgang i teorien om solitoner - M.; Science, 1986, 527 sider.
Perelomov AM Integrerbare systemer af klassisk mekanik og Lie algebraer. - M., Nauka, 1990. - 240 s.