Højere symmetri

Højere symmetri ( generaliseret symmetri ) er et af de grundlæggende begreber i grenen af matematik- gruppeanalyse .

Definition

Den højere symmetri af den k. orden for en partiel differentialligning af formen

u_{t}=f(u,u_{x},u_{xx},...),\,(1)

kan defineres som en ligning af formen

u_{\tau }=\omega (u,u_{x},u_{xx},...,u_{k}),\,(2)

sådan at differentiering af ligningen med hensyn til giver den korrekte identitet: $(en)$ $\tau$

(u_{t}-f)_{\tau }|_{u_{t}=f}=0.\,(3)

Ellers siger man, at differentiering i kraft af ligningen giver den korrekte identitet. Den uafhængige hjælpevariabel er analog med gruppeparameteren i klassiske symmetrier. $(en)$ $(2)$ $\tau$ $-en$

Det er let at vise, at betingelsen kan skrives i en symmetrisk form: $(3)$

(u_{t})_{\tau }=(u_{\tau })_{t}.\,(4)

For at beregne højere symmetrier er det praktisk at bruge rekursionsoperatoren. For eksempel Burgers-ligningen

{\displaystyle u_{t}=u_{xx}+2uu_{x))

tillader rekursionsoperatør

R=D_{x}+u+u_{1}D_{x}^{-1}.

Et vigtigt spørgsmål i studiet af integrerbarheden af en differentialligning er tilstedeværelsen af et uendeligt hierarki af højere symmetrier. Meget ofte tages denne egenskab som definitionen af en integrerbar ligning. En sådan definition er så effektiv, at den giver mulighed for at klassificere integrerbare ligninger og besvare spørgsmålet om, hvorvidt en given ligning er integrerbar.

Litteratur

Olver P. Anvendelser af Lie-grupper til differentialligninger. — M .: Mir, 1989. — 639 s.